第三章 平面任意力系
工程力学 C
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引言
从汇交力系与力偶系说起
上一章的结论：
平面汇交力系平衡: $\sum F_{x,y} = 0$
平面力偶系平衡: $\sum M = 0$
平面汇交力系平衡: $\sum F_{x,y} = 0$
平面力偶系平衡: $\sum M = 0$
上一章的结论：
平面汇交力系平衡: $\sum F_{x,y} = 0$
平面力偶系平衡: $\sum M = 0$
工程中各力既不汇交于一点，也不全是力偶。
平面汇交力系平衡: $\sum F_{x,y} = 0$
平面力偶系平衡: $\sum M = 0$
工程中各力既不汇交于一点，也不全是力偶。
图：发动机吊装受力示例
平面任意力系各力作用线位于同一平面内，既不汇交、又不完全平行的力系。它是平面力系的最一般形式——前面所学都是它的特例。
本章两大任务① 任意力系能简化成什么？② 平衡方程怎么列？
3.1 平面任意力系向作用面内一点简化
3.1.1 力线平移定理
定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。
力线平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一个力偶合成一个力。
3.1 平面任意力系向作用面内一点简化
3.1.1 力线平移定理
力偶使刚体能够旋转，而实际生活中为什么我们可以用单手操作丝锥攻螺纹？
危险操作!单手施力容易有过丝锥轴线的力，使丝锥又转又弯进而折断，容易被同事殴打。
作用在物体上的力可以平移到物体上的任一点，但需要附加一个力偶，其力偶矩等于原力对新作用点的矩。
3.1 平面任意力系向作用面内一点简化
3.1.1 力线平移定理
说明：
1. 力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力 $\Longleftrightarrow$ 力+力偶
2.力平移的条件是附加一个力偶$m$，且$m$与$d$有关，$m=F·d$
3.力的平移定理是力系简化的理论基础。
3.1 平面任意力系向作用面内一点简化
3.1.2 主矢与主矩
$F_1^{'}=F_1, F_2^{'}=F_2, ······ \ F_n^{'}=F_n$
平面汇交力系 $\xrightarrow{简化为} $ 力 $\xrightarrow{表示为} $ $F^{'}_{R}$
$M_1^{'}=M_O(F_1), M_2^{'}=M_O(F_2), ······, M_n^{'}=M_O(F_n)$
平面力偶系 $\xrightarrow{简化为} $ 力偶 $\xrightarrow{表示为} $$M_{O}$
平面任意力系 $\xrightarrow{向一点简化} $ 平面汇交力系 + 平面力偶系
3.1 平面任意力系向作用面内一点简化
3.1.2 主矢与主矩
平面任意力系 $\xrightarrow{\bold{向一点简化}} $ 平面汇交力系 + 平面力偶系
其中平面汇交力系的合力为：
$\vec{F}'_R = \vec{F}'_1 + \vec{F}'_2 + \dots + \vec{F}'_n = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \dots + \vec{F}_n = \sum \vec{F}_i$
平面力偶系的合成结果为：
$M_O = M_1 + M_2 + \dots + M_n = M_O(\vec{F}_1) + M_O(\vec{F}_2) + \dots + M_O(\vec{F}_n) = \sum M_O(\vec{F}_i)$
3.1 平面任意力系向作用面内一点简化
3.1.2 主矢与主矩
平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系的主矢, 主矢与简化中心的位置无关。
$\vec{F}'_R = \vec{F}'_{Rx} + \vec{F}'_{Ry} = \sum F_x \vec{i} + \sum F_y \vec{j}$
$\vec{F}'_R = \vec{F}'_{Rx} + \vec{F}'_{Ry} = \sum F_x \vec{i} + \sum F_y \vec{j}$
$F'_R = \sqrt{(\sum F_x)^2 + (\sum F_y)^2}$
$F'_R = \sqrt{(\sum F_x)^2 + (\sum F_y)^2}$
$\vec{F}'_R = \vec{F}'_{Rx} + \vec{F}'_{Ry} = \sum F_x \vec{i} + \sum F_y \vec{j}$
$F'_R = \sqrt{(\sum F_x)^2 + (\sum F_y)^2}$
$\cos(\vec{F}'_R, \vec{i}) = \frac{\sum F_x}{F'_R}$
$\cos(\vec{F}'_R, \vec{j}) = \frac{\sum F_y}{F'_R}$
$F'_R = \sqrt{(\sum F_x)^2 + (\sum F_y)^2}$
$\cos(\vec{F}'_R, \vec{i}) = \frac{\sum F_x}{F'_R}$
$\cos(\vec{F}'_R, \vec{j}) = \frac{\sum F_y}{F'_R}$
3.1 平面任意力系向作用面内一点简化
3.1.2 主矢与主矩
原力系各力对简化中心力矩的代数和称为原力系对简化中心的主矩。一般来说，主矩与简化中心的位置有关。
$$M_O = \sum_{i=1}^{n} M_O(\vec{F}_i) = \sum_{i=1}^{n} ({x_i} F_{yi} - y_i F_{xi})$$
$$M_O = \sum_{i=1}^{n} M_O(\vec{F}_i) = \sum_{i=1}^{n} ({x_i} F_{yi} - y_i F_{xi})$$
隐身平面任意力系向作用面内任一点$O$简化，可得该力系的主矢和该力系对于点$O$的主矩。主矢与简化中心的位置无关，主矩和简化中心的位置有关。
3.1.3 平面固定端约束
一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约束称为固定端或插入端支座。
固定端的约束力向 A 点简化后为：两个分力 $F_{Ax}$、$F_{Ay}$ ＋ 一个约束力偶 $M_A$,
共 3 个未知量。
3.1.3 平面固定端约束
一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约束称为固定端或插入端支座。
3.1.3 平面固定端约束
工程中常见的固定端约束
管道法兰
输电塔线
电机输出轴
3.1.4 平面任意力系简化结果分析
四种情形：
① $F'_R = 0$, $M_O \neq 0$; ② $F'_R \neq 0$, $M_O = 0$;
③ $F'_R \neq 0$, $M_O \neq 0$; ④ $F'_R = 0$, $M_O = 0$
③ $F'_R \neq 0$, $M_O \neq 0$; ④ $F'_R = 0$, $M_O = 0$
(1) 平面任意力系简化为一个力偶的情形（对应情形①）
$F^{'}_{R}=0,M_O \neq 0$
$F^{'}_{R}=0,M_O \neq 0$
$M_O = \sum M_O(\vec{F})$
$M_O = \sum M_O(\vec{F})$
隐容原力系合成为合力偶。合力偶矩$M$等于原力系对简化中心的主矩。此时主矩与简化中心的位置无关。
3.1.4 平面任意力系简化结果分析
(2) 平面任意力系简化为一个合力的情形（对应情形②）
$F'_R \neq 0$, $M_O = 0$;
$F'_R \neq 0$, $M_O = 0$
$\vec{F}'_R =\sum \vec{F}_i$
$\vec{F}'_R =\sum \vec{F}_i$
隐身如果主矩等于零，主矢不等于零，则此时平面力系简化为一合力，作用线恰好通过简化中心。
3.1.4 平面任意力系简化结果分析
(3) 平面任意力系简化为一个合力的情形·合力矩定理（对应情形3）
$F'_R \neq 0$, $M_O \neq 0$
隐身如果主矢和主矩均不等于零，此时还可进一步简化为一合力$F_R$, 1$d = M_O/F_R$
3.1.4 平面任意力系简化结果分析
从图中可以看出：
$$M_O(\vec{F}_R) = F_R d = M_O$$
由主矩的定义知：
$$M_O = \sum M_O(\vec{F}_i)$$
所以：
$$M_O(\vec{F}_R) = \sum M_O(\vec{F}_i)$$
结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。这就是平面任意力系的合力矩定理。
3.1.4 平面任意力系简化结果分析
总结
主矢与主矩的四种组合：
1. $F_R' \ne 0$、$M_O = 0$ → 合力，作用线过简化中心
2. $F_R' = 0$、$M_O \ne 0$ → 合力偶（与简化中心的位置无关）
3. $F_R' \ne 0$、$M_O \ne 0$ → 合力作用线偏离简化中心距离：$d = M_O/F_R$
4. $F_R' = 0$、$M_O = 0$ → 平衡（与简化中心的位置无关）
合力矩定理合力对任一点之矩 = 各分力之矩代数和：$M_O(\vec F_R) = \sum M_O(\vec F_i)$
3.1.5 平行分布线荷载
定义风压、水压、自重都分布在一段长度或面积上分布在较大范围内，不能看作集中力。这类荷载称分布荷载。 若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力，则称此力系为平行分布线荷载，简称线荷载。
思考：三角形分布载荷处理？
简化中心：$A$点
主矢 $R' = \int_0^l \frac{x}{l} q dx = \frac{1}{2} ql$
主矩 $L = m_A = \int_0^l x \frac{x}{l} q dx = \frac{1}{3} ql^2$
简化最终结果: $R = R' = \frac{1}{2} ql$
$d = \frac{L}{R'} = \frac{\frac{1}{3} ql^2}{\frac{1}{2} ql} = \frac{2}{3} l$
3.1.5 平行分布线荷载的简化
均布荷载 $Q=ql$
三角形荷载 $Q=\frac{1}{2}ql$
梯形荷载 = 三角形荷载+均布荷载
结论：
隐身 1. 合力的大小等于线荷载所组成几何图形的面积。
隐身 2. 合力的方向与线荷载的方向相同。
隐身 3. 合力的作用线通过荷载图的形心。
例题
图示力系，已知：$F1=100N, F2=50N, F3=200N$, 图中距离单位cm。
求：1. 力系主矢及对$A$点之矩？
隐容2. 力系简化最后结果。
解：1. 建立坐标系
隐容2. $F_x=\sum F_x=F_3=200\mathrm{N}$
隐身内$F_y=\sum F_y=F_1+F_2=150\mathrm{N}$
$\therefore$主矢 $F_R'=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=\sqrt{200^2+150^2}=250\mathrm{N}$
$\cos\alpha=\cos(F_R',x)=\frac{F_x}{F_R'}=\frac{200}{250}=0.8 \quad \therefore\alpha=36.9^\circ$
$\cos\alpha=\cos(F_R',x)=\frac{F_x}{F_R'}=\frac{200}{250}=0.8 \quad \therefore\alpha=36.9^\circ$
$m_A=\sum m_A(\vec{F_i})=F_2\times6=50\times6=300\mathrm{N\cdot cm}$
例题
2. 简化最终结果
主矢 $F^{'}_R=250N$, 方向 $\alpha=36.9^\circ$
主矩 $M_A=300N·cm$
最终结果 合力大小：$F_R=F_R^{'}=250N$， 方向 $\alpha=36.9^\circ$
最终结果 合力大小：$F_R=F_R^{'}=250N$， 方向 $\alpha=36.9^\circ$ 方向在A点左还是右？
位置图示
位置图示:隐身内容 $h=\frac{M_A}{F_R^{'}}=\frac{300}{250}=1.2cm$
例题3-1
已知：$P_1 = 450\mathrm{kN},\quad F_1 = 300\mathrm{kN}; \quad P_2 = 200\mathrm{kN},\quad F_2 = 70\mathrm{kN};$，求力系的合力 $\overline{F_R}$，合力与OA杆的交点到点O的距离 $x$，合力作用线方程。
解：（1）向$O$点简化， 求主矢和主矩。
隐身$\theta = \angle ACB = \arctan \frac{AB}{AC} = 16.7^\circ$
隐身$F_{Rx}' = \sum F_{ix} = F_1 - F_2 \cos \theta = 232.9\mathrm{kN}$
隐身$F_{Ry}' = \sum F_{iy} = -P_1 - P_2 - F \sin \theta = -670.1\mathrm{kN}$
$\overline{F_R'}$ 大小： $F_R' = \sqrt{\left(\sum F_{ix}\right)^2 + \left(\sum F_{iy}\right)^2} = 709.4\mathrm{kN}$
$\overline{F_R'}$ 方向余弦：$ \cos(\overline{F_R'}, \vec{i}) = \frac{\sum F_{ix}}{F_R'} = 0.3283$
$\cos(\overline{F_R'}, \vec{j}) = \frac{\sum F_{iy}}{F_R'} = -0.9446$
$\cos(\overline{F_R'}, \vec{j}) = \frac{\sum F_{iy}}{F_R'} = -0.9446$
主矩 $ M_o = \sum M_o(\overline{F}) = -3F_1 - 1.5P_1 - 3.9P_2 = -2355\mathrm{kN\cdot m}$
3.2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
3.2.1 平衡条件 & 3.2.2 平衡方程
平面任意力系平衡的必要与充分条件是力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。
$F'_R = 0 \\ M_O = 0$
又$\because$ 1 $F'_R = \sqrt{(\sum F_x)^2 + (\sum F_y)^2}$
隐身1$M_O = \sum M_O(\boldsymbol{F}_i)$
隐身1$M_O = \sum M_O(\boldsymbol{F}_i)$
平衡方程$$\begin{cases}
\sum F_{xi} = 0 \\
\sum F_{yi} = 0 \\
\sum M_O(\boldsymbol{F}_i) = 0
\end{cases}$$
力的两个投影 + 任一点力矩（一矩式）
三个独立方程，可解三个未知量。
三个独立方程，可解三个未知量。
矩心任取！$O$ 可选作用面内任意点（甚至不在物体上的点）。实际解题时，矩心优先取多个未知力的交点——让它们的矩为零，方程里只剩一个未知量。
平衡问题解题步骤
平面任意力系平衡问题的标准流程
第一步：画受力图
- 建立合适的坐标系
- 解除全部约束，画分离体轮廓
- 画上全部主动力与约束力（未知方向可先假设）
- 标注计算力矩所需的尺寸
第二步：列平衡方程
- 矩心取两未知力作用线的交点，先解出一个未知量
- 投影轴沿力的方向（或垂直于多个未知力）
- 每个方程至少含一个未用过的未知量
符号约定若力解出结果为负，说明该力（或力偶）的实际方向与受力图上所设相反——不必回头改图，答案标注实际方向即可。
例题1:
求图示刚架的约束反力
解：以刚架为研究对象，受力如图。
$\sum F_x = 0: F_{Ax} - qb = 0$
$\sum F_y = 0: F_{Ay} - P = 0$
$\sum F_y = 0: F_{Ay} - P = 0$
$\sum M_A(\boldsymbol{F}) = 0: \\ M_A - Pa - \frac{1}{2}qb^2 = 0$
解得：
$F_{Ax} = qb$
$F_{Ay} = P$
$M_A = Pa + \frac{1}{2}qb^2$
例题2:
求图示梁的支座反力
解：以刚架为研究对象，受力如图。
$\sum F_x = 0: F_{Ax} + P \cos\theta = 0$
$\sum F_y = 0: F_{Ay} + F_B - P \sin\theta = 0$
$\sum F_y = 0: F_{Ay} + F_B - P \sin\theta = 0$
$\sum M_A(\boldsymbol{F}) = 0: F_B a - P \sin\theta \cdot (a+b) - m = 0$
解得：
$F_{Ax} = -P \cos\theta$
$F_{Ay} = -\frac{m + Pb\sin\theta}{a}$
$F_B = \frac{m + P\sin\theta(a+b)}{a}$
$F_{Ay} = -\frac{m + Pb\sin\theta}{a}$
$F_B = \frac{m + P\sin\theta(a+b)}{a}$
3.2 平衡方程的另外两种形式：二矩式与三矩式
二矩式：
$\sum M_A = \sum M_B =0$
$ \sum F_x = 0$
其中$AB$连线不垂直于投影轴 $x$。
$\sum M_A = \sum M_B =0$
$ \sum F_x = 0$
其中$AB$连线不垂直于投影轴 $x$。
三矩式：
$\sum M_A = \sum M_B = \sum M_C = 0$
其中 $A、B、C$ 三点不共线。
$\sum M_A = \sum M_B = \sum M_C = 0$
其中 $A、B、C$ 三点不共线。
例外情况若 A、B 连线垂直于 x 轴，则 $\sum M_A = 0$ 与 $\sum M_B = 0$ 只保证合力沿 AB 方向，$\sum F_x = 0$ 仍含该分量——三个方程不完全独立。三矩式同理。
三种都只有 3 个独立方程。而多矩式多用于"矩心取未知力交点"，可少解联立方程。
例题3:
悬臂吊车如图所示。横梁AB长l＝2.5 m，重量P＝1.2 kN，拉杆CB的倾角a＝30°，质量不计，载荷Q＝7.5 kN。求图示位置a＝2 m时拉杆的拉力和铰链A的约束反力。
解：取横梁$AB$为研究对象，受力如图。
$\sum F_x = 0$ ： $F_{Ax} - F_T \cos\alpha = 0$
$\sum F_y = 0$ : $F_{Ay} + F_T \sin\alpha - P - Q = 0$
$\sum M_A(\boldsymbol{F}) = 0$ : $F_T \sin\alpha \cdot l - P \cdot \frac{l}{2} - Qa = 0$
联列解得：
$F_T = \frac{1}{\sin\alpha \cdot l}\left(P \cdot \frac{l}{2} + Qa\right) = 13.2 \text{ kN}$
$F_T = \frac{1}{\sin\alpha \cdot l}\left(P \cdot \frac{l}{2} + Qa\right) = 13.2 \text{ kN}$
$F_{Ax} = F_T \cos\alpha = 11.43 \text{ kN}$
$F_{Ay} = Q + P - F_T \sin\alpha = 2.1 \text{ kN}$
例题3:
用平衡方程的其他形式
解：取两个未知力作力的延长线，交$C$点。
$F_{Ax} - F_T \cos\alpha = 0 \quad (1)$
$F_{Ay} + F_T \sin\alpha - P - Q = 0 \quad (2)$
$F_T \sin\alpha \cdot l - P \cdot \frac{l}{2} - Qa = 0 \quad (3)$
如果再分别取$B$和$C$为矩心列平衡方程得:
$\sum M_B(\boldsymbol{F}) = 0$ : $P \cdot \frac{l}{2} + Q \cdot (l-a) - F_{Ay} \cdot l = 0 \quad (4)$
$\sum M_C(\boldsymbol{F}) = 0$ : $F_{Ax} \tan\alpha \cdot l - P \cdot \frac{l}{2} - Qa = 0 \quad (5)$
有效的方程组合：1,2,3/1,2,4/1,2,5 (一矩式)； 1,3,4；2,4,5 (二矩式)；3,4,5 (三矩式)
3.2 平面平行力系
任意力系的第一个特例
各力互相平行时，垂直于力线的投影方程自动满足，只剩：
$$\sum F_y = 0, \quad \sum M_O = 0$$
二矩式条件放宽为：A、B 连线不平行于各力作用线。共 2 个独立方程，解 2 个未知量。
力系分类与独立方程数:
共线力系：1 个 隐身内容 汇交力系：2 个
平行力系：2 个 隐身内容 任意力系：3 个
例题4:
已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量)，尺寸如图。求：①保证满载和空载时不致翻倒，平衡块Q=？ ②当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？
解：① 首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的$Q$：
$\sum m_B(\vec{F}) = 0$
$Q(6+2) + P \cdot 2 - W(12-2) - N_A(2+2) = 0$
$\because N_A\ge 0$ , 解得：$Q \ge 75 \text{ kN}$
例题4:
已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量)，尺寸如图。求：①保证满载和空载时不致翻倒，平衡块Q=？ ②当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？
解：② 空载时，$W=0$：
$\sum m_A(\vec{F}) = 0$
$Q(6-2) - P \cdot 2 + N_B(2+2) = 0$
$\because N_B \ge 0$ , 解得：$Q \le 350 \text{ kN}$
综上，保证空、满载均不倒，Q应满足如下关系：$75 \text{ kN} \le Q \le 350 \text{ kN}$
例题4:
已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量)，尺寸如图。求：①保证满载和空载时不致翻倒，平衡块Q=？ ②当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？
解：（2） 由平面平行力系的平衡方程可得：
$\sum m_A(\vec{F}) = 0 $
$ Q(6-2) - P \cdot 2 - W(12+2) + N_B \cdot 4 = 0$
$ Q(6-2) - P \cdot 2 - W(12+2) + N_B \cdot 4 = 0$
$\sum F_{yi} = 0 \quad -Q - P - W + N_A + N_B = 0$
解得：
$N_A = 210\text{ kN}$, $N_B = 870\text{ kN}$
3.4 平面桁架
理想桁架四假设
为什么用桁架？桥梁、屋架、塔架要跨越大距离——用细长直杆拼成三角形结构，让每根杆只受轴向拉压，材料效率最高。
桁架由直杆在端点铰接而成的承载结构；各杆连接点称为节点。
四个假设· 杆件都是直杆
· 节点是光滑铰
· 载荷只作用在节点上
· 杆件自重不计
· 节点是光滑铰
· 载荷只作用在节点上
· 杆件自重不计
四个假设下，各杆均为二力杆, 只受轴向拉力 T 或压力 C，没有弯矩。
这样的桁架称为理想桁架
这样的桁架称为理想桁架
3.4 平面桁架
节点法
隐身桁架内每个节点都受平面汇交力系作用，为求桁架内每个杆件的内力，逐个取桁架内每个节点为研究对象，求桁架杆件内力的方法即为节点法。
例题：平面桁架的尺寸和支座如图，在节点D处受一集中荷载$F = 10 kN$的作用。试求桁架各杆件所受的内力。
解：先以整体为研究对象，受力如图。
$\sum F_x = 0,\quad F_{Ax} = 0$
$\sum M_A(\boldsymbol{F}) = 0,\quad 2F - 4F_{By} = 0$
$\sum F_y = 0,\quad F_{Ay} + F_{By} - F = 0$
$\sum M_A(\boldsymbol{F}) = 0,\quad 2F - 4F_{By} = 0$
$\sum F_y = 0,\quad F_{Ay} + F_{By} - F = 0$
$F_{Ay} = 5\text{ kN}$ , $F_{By} = 5\text{ kN}$
3.4 平面桁架节点法
再分别以节点$A、C、D$为研究对象，受力如图。
节点$A$
$\sum F_x = 0,\quad F_{Ax} + F_2 + F_1\cos 30^\circ = 0$
$\sum F_y = 0,\quad F_{Ay} + F_1\sin 30^\circ = 0$
$\sum F_y = 0,\quad F_{Ay} + F_1\sin 30^\circ = 0$
节点$C$
$\sum F_x = 0,\quad F_4\cos 30^\circ - F_1'\cos 30^\circ = 0$
$\sum F_y = 0,\quad -F_3 - (F_1' + F_4)\sin 30^\circ = 0$
$\sum F_y = 0,\quad -F_3 - (F_1' + F_4)\sin 30^\circ = 0$
节点$D$
$\sum F_x = 0,\quad F_5 - F_2' = 0$
联列解得：$F_1 = -10\text{ kN},\ F_2 = 8.66\text{ kN},\ F_3 = 10\text{ kN}$
$F_4 = -10\text{ kN},\ F_5 = 8.66\text{ kN}$
$F_4 = -10\text{ kN},\ F_5 = 8.66\text{ kN}$
3.4 平面桁架节点法
特殊杆件的内力判断
① 两杆节点无载荷、且两杆不在一条直线上时，该两杆是零力杆。
② 三杆节点无载荷、其中两杆在一条直线上，另一杆必为零力杆。
③ 四杆节点无载荷、其中两两在一条直线上，同一直线上两杆内力等值。
例题:
已知 $P, d$,求：$a.b.c.d$四杆的内力？
解： 由零杆判式：
$S_c=S_d=S_a=0$
研究$A$点：隐身 $\because \sum Y =0$
$S_b \cdot cos45^\circ -P =0$
解得： $S_b=\sqrt{2} P$
3.4 平面桁架
截面法
隐身用假想的截面将桁架截开，取至少包含两个节点以上部分为研究对象，考虑其平衡，求出被截杆件内力，这就是截面法。
例题：图示平面桁架，各杆长度均为1m，在节点$E，G，F$上分别作用荷载$F_E＝10 kN， F_G＝7 kN， F_F＝5 kN$。试求杆1、2、3的内力。
解：取整体分析。
$\sum F_x = 0,\quad F_{Ax} + F_F = 0$
$\sum M_B(\vec{F}) = 0$,
$ F_E \cdot 2 + F_G \cdot 1 - F_F \sin 60^\circ \cdot 1 - F_{Ay} \cdot 3 = 0$
$\sum M_B(\vec{F}) = 0$,
$ F_E \cdot 2 + F_G \cdot 1 - F_F \sin 60^\circ \cdot 1 - F_{Ay} \cdot 3 = 0$
解得 $F_{Ax} = -5\text{ kN},\quad F_{Ay} = 7.557\text{ kN}$
3.4 平面桁架
截面法
为求1、2、3杆的内力，可作一截面$m-n$将三杆截断，选定桁架左半部分为研究对象。假定所截断的三根杆都受拉力，受力如图所示，为一平面任意力系。
$\sum M_E(\boldsymbol{F}) = 0,\quad -F_1\sin 60^\circ \cdot 1 - F_{Ay}\cdot 1 = 0$
$\sum F_y = 0,\quad F_{Ay} + F_2\sin 60^\circ - F_E = 0$
$\sum M_D(\vec{F}) = 0,\quad F_E\cdot\frac{1}{2} + F_3\cdot\sin 60^\circ- F_{Ay}\cdot 1.5 + F_{Ax}\sin 60 = 0$
$\sum F_y = 0,\quad F_{Ay} + F_2\sin 60^\circ - F_E = 0$
$\sum M_D(\vec{F}) = 0,\quad F_E\cdot\frac{1}{2} + F_3\cdot\sin 60^\circ- F_{Ay}\cdot 1.5 + F_{Ax}\sin 60 = 0$
解得：$F_1 = -8.726\text{ kN},\ F_2 = 2.821\text{ kN},\ F_3 = 12.32\text{ kN}$
求得1杆受力为负值，说明1杆受压。
求得1杆受力为负值，说明1杆受压。
3.4 平面桁架
目前研究桁架受力
本节结束
The End
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