第二章
平面汇交力系
平面力偶系
工程力学 C
夏逸波 低空技术学院
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引言
从受力图到定量计算
上一章：取分离体、画受力图，把力都找齐了。
接下来自然要问：这堆力对物体的总效果是什么？什么时候物体平衡？
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则
各力矢与合力矢构成的多边形称为力多边形。
用力多边形求合力的作图规则称为力的多边形法则。
力多边形中表示合力矢量的边称为力多边形的封闭边。
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则
结论平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量和(几何和)，合力的作用线通过汇交点。
用矢量式表示为：
$$\vec{F}_R = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \cdots + \vec{F}_n = \sum \vec{F}$$(1)
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合力等于零。
用矢量式表示为：
$$\sum \vec{F}_i=0$$(2)
隐身在平衡的情形下，力多边形中最后一力的终点与第一力的起点重合，此时的力多边形称为封闭的力多边形。于是，平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的力多边形自行封闭，这是平衡的几何条件。
例 1: 压路机碾子（几何法）
碾子重 $P = 20$ kN、$r = 60$ cm，拉过 $h = 8$ cm 障碍。求水平力 $F$ 与对障碍压力。
解：
1. 选碾子为研究对象
1. 选碾子为研究对象
解：
1. 选碾子为研究对象
2. 取分离体画受力图
1. 选碾子为研究对象
2. 取分离体画受力图
解：
1. 选碾子为研究对象
2. 取分离体画受力图
当碾子刚离地面时, $N_A=0$, 拉力$F$最大, 这时拉力$F$和自重及支反力$N_B$构成一平衡力系。由平衡的几何条件，力多边形封闭，故:
1. 选碾子为研究对象
2. 取分离体画受力图
当碾子刚离地面时, $N_A=0$, 拉力$F$最大, 这时拉力$F$和自重及支反力$N_B$构成一平衡力系。由平衡的几何条件，力多边形封闭，故:
$F=P·tg\alpha$
$N_B=\frac{P}{cos\alpha}$
$N_B=\frac{P}{cos\alpha}$
例 1:压路机碾子（几何法）
$F=P·tan\alpha$
$N_B=\frac{P}{cos\alpha}$
$N_B=\frac{P}{cos\alpha}$
又由几何关系：$\tan \alpha = \frac{\sqrt{r^2 - (r-h)^2}}{r-h} = 0.577$
所以：$F=11.5kN$, $N_B=23.1kN$
由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。
注意此题也可用力多边形方法用比例尺去量。
2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
力在坐标轴上的投影:
$$F_x = Fcos\alpha$$(1)
$$F_x = Fcos\beta$$(2)
矢量表示方法:
$$\vec{F} = \vec{F}_x + \vec{F}_y = F_x \vec{i} + F_y \vec{j}$$(3)
合力投影定理 & 平面汇交力系合成的解析法
2.2.3 合力投影定理
隐身平面汇交力系的合力在某轴上的投影，等于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。
$$F_{R_x} = \sum F_{xi}, \quad{F_{R_y} = \sum F_{yi}}$$(1)
2.2.4 平面汇交力系合成的解析法
$$F_R = \sqrt{F_{Rx}^2 + F_{Ry}^2} = \sqrt{(\sum F_{xi})^2 + (\sum F_{yi})^2}$$(2)
$$\cos(\vec{F}_R,\vec{i})=\frac{F_{Rx}}{F_R},\quad \cos(\vec{F}_R,\vec{j})=\frac{F_{Ry}}{F_R}$$(3)
2.2.4 平面汇交力系的平衡方程
$$F_R=\sqrt{\left(\Sigma F_{xi}\right)^2+\left(\Sigma F_{yi}\right)^2}=0$$(1)
$$\Sigma F_{xi}=0$$(2)
$$\Sigma F_{yi}=0$$(3)
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零。
上式称为平面汇交力系的平衡方程。
几何法和解析法怎么选?
力少（3~4 个）且简单→几何法画三角形；力多→解析法列方程。
工程上以解析法为主
工程上以解析法为主
例 2：已知$P = 2$ kN，求 $S_{CD}$、$R_A$。
解：
- 1. 取AB杆为研究对象
解：
- 1. 取AB杆为研究对象
- 2. 画AB的受力图
解：
- 1. 取AB杆为研究对象
- 2. 画AB的受力图
- 3. 列平衡方程
$\sum X=0:\ R_A\cos\varphi - S_{CD}\cos45^\circ = 0,\\ \quad \sum Y=0:\ -P - R_A\sin\varphi + S_{CD}\sin45^\circ = 0$
解方程，由$EB=BC=0.4m$：
解得：$\tan\varphi = \frac{EB}{AB} = \frac{0.4}{1.2} = \frac{1}{3}$
$S_{CD}=\frac{P}{\sin45^\circ-\cos45^\circ\cdot\tan\varphi}=4.24\mathrm{kN},\quad R_A=S_{CD}\cdot\frac{\cos45^\circ}{\cos\varphi}=3.16\mathrm{kN}$
2.3 平面力对点之矩的概念及计算
2.3.1 力对点之矩（力矩）
隐身力$F$与点$O$位于同一平面内，点$O$称为矩心，点$O$到力的作用线的垂直距离$h$称为力臂。
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心逆时针转动时为正，反之为负。
$M_O(\vec{F})=\pm Fh=\pm 2A_{\triangle OAB}$
力矩的单位常用$N·m$ 或 $kN·m$ 。
2.3.2 合力矩定理与力矩的解析表达式
(1) 合力矩定理
平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。
$M_O(\vec{F}_R)=\sum_{i=1}^{n} M_O(\vec{F}_i)$
(2) 力矩的解析表达式
$M_O(\vec{F})=xF\sin\theta - yF\cos\theta = xF_y - yF_x$
例题3
已知$F＝1400$N, $r＝60$mm, $a＝20°$，求力$Fn$对$O$点的矩。
解：$M_O(\vec{F_n})=F_n\cdot h=F_n·r\cos\alpha=78.93\ \mathrm{N\cdot m}$
$M_O(\vec{F_n})=M_O(\vec{F}_r)+M_O(\vec{F}_t)=M_O(\vec{F}_t)=F_n\cos\alpha\cdot r$
常用合力矩定理!
2.4 平面力偶
2.4.1力偶与力偶矩
隐身由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，称为力偶，记为$(F, F')$。力偶的两力之间的垂直距离$d$称为力臂，力偶所在的平面称为力偶作用面。
隐身力偶不能合成为一个力，也不能用一个力来平衡。力和力偶是静力学的两个基本要素。
2.4.1 力偶与力偶矩
隐身力偶是由两个力组成的特殊力系，它的作用只改变物体的转动状态。力偶对物体的转动效应用力偶矩来度量。平面力偶对物体的作用效应由以下两个因素决定：
(1) 力偶矩的大小；
(2) 力偶在作用面内的转向。
(2) 力偶在作用面内的转向。
平面力偶可视为代数量，以$M$或$M(F, F')$表示:
$M=\pm Fd=2A_{\Delta ABC}$
隐身平面力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向：一般以逆时针转向为正，反之则为负。力偶的单位与力矩相同。
2.4.2 同平面内力偶的等效定理
定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。
推论：
- 任一力偶可以在它的作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。
- 只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。
2.4.2 同平面内力偶的等效定理
力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有力偶矩才是力偶作用的唯一量度。今后常用如图所示的符号表示力偶。$M$为力偶的矩。
2.4.3 平面力偶系的合成
解：$M_1=F_1 d_1=F_3d; \quad M_2=-F_2 d_2=-F_4d$
$F=F_3-F_4, F'=F'_3-F'_4; \quad Fd=M_1(\boldsymbol{F}_1,\boldsymbol{F}'_1),F'd=M_2(\boldsymbol{F}_2,\boldsymbol{F}'_2)$
$M=F d=(F_3-F_4)d=F_3d-F_4d=M_1+M_2$
2.4.3 平面力偶系的平衡条件
隐身在同平面内的任意个力偶可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。公式表示为：
$M=\sum_{i=1}^n M_i=M_1+M_2+···+M_n$
所谓力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此，
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零，即
$\sum_{i=1}^n M_i=0$
平衡方程$\sum_{i=1}^n M_i=0$
思考题1
刚体上$A、B、C、D$四点组成一个平行四边形，如在其四个顶点作用有四个力，此四力沿四个边恰好组成封闭的力多边形，如图所示。此刚体是否平衡？
思考题2
从力偶理论知道，一力不能与力偶平衡。图示轮子上的力$P$为什么能与$M$平衡呢？
例题3
隐身在一钻床上水平放置工件, 在工件上同时钻四个等直径的孔, 每个钻头的力偶矩为$m_1=m_2=m_3=m_4=15$N·m, 求工件的总切削力偶矩和$A 、B$端水平反力?
解: 各力偶的合力偶矩为:
$M=-m_1-m_2-m_3-m_4=-60N·m$
由力偶只能与力偶平衡的性质，力$N_A$与力$N_B$组成一力偶。
根据平面力偶系平衡方程有: $N_B\times0.2-m_1-m_2-m_3-m_4=0$
$N_B=\frac{60}{0.2}=300N \quad \quad N_B=N_A=300N$
例题4
图示结构，已知$M=800N·m$，求A、C两点的约束反力。
取整体为研究对象:
取整体为研究对象：$M_{AC}=R_C·d=0.255R_C(N·m)$
$\sum M_i=0 \quad M_{AC}-M=0 \quad R_C=3137N$
例题5
不计自重的杆$AB$与$DC$在$C$处为光滑接触,它们分别受力偶矩为$M_1$与$M_2$的力偶作用 ，转向如图。问$M_1$与$M_2$比值为多大，结构才能平衡?
解: 取杆AB为研究对象画受力图。
杆$AB$只受力偶的作用而平衡且$C$处为光滑面约束，则$A$处约束反力的方位可定。
$R_A=R_C=R, \quad 令AC长为a：$
$\because \sum M_i=0$
$\therefore a·R-M_1=0 \quad M_1=a·R$
本节结束
The End
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