第四章
弯曲内力
工程力学 C
夏逸波 低空技术学院
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§4-1 弯曲的概念和实例
一、工程实例
生活中有很多弯曲为主要变形的例子
杆的弯曲
跳板的弯曲
§4-1 弯曲的概念和实例
一、工程实例
生活中有很多因为发生过大弯曲变形而失效的例子
载荷过大造成的板车弯曲失效
弯曲过大导致钓鱼杆断裂
§4-1 弯曲的概念和实例
一、工程实例
工程中以弯曲为主要工作原理的构件在工程中随处可见。
汽车减振用钢板弹簧
弹簧垫圈防松
§4-1 弯曲的概念和实例
二、弯曲的概念
1、受力特点：作用于杆件上的外力垂直于杆件的轴线
1、受力特点：作用于杆件上的外力垂直于杆件的轴线
2、变形特点：使原为直线的轴线变为曲线
§4-1 弯曲的概念和实例
二、弯曲的概念
对称弯曲若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。
以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。
以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。
- ① 轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁
以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。
- ① 轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁
- ② 有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对称梁
§4-2 受弯杆件的简化: 梁的力学模型的简化
1、梁支座的简化
(1) 移（滚）动铰支座：有一个未知反力 $F_R$
(1) 移（滚）动铰支座：有一个未知反力 $F_R$
(2) 固定铰支座：有两个未知反力 $F_{Rx}$、$F_{Ry}$
(1) 移（滚）动铰支座：有一个未知反力 $F_R$
(2) 固定铰支座：有两个未知反力 $F_{Rx}$、$F_{Ry}$
(3) 固定端：有三个未知反力 $F_{Rx}$、$F_{Ry}$、$M_R$
§4-2 受弯杆件的简化
2、载荷的简化
§4-2 受弯杆件的简化
3、静定梁的基本形式
静定梁仅用静力平衡方程即可求得反力的梁。
超静定梁仅用静力平衡方程不能求得所有反力的梁。（如附加链杆支座的悬臂梁、连续梁）
§4-3 剪力和弯矩
一、内力计算：截面法
已知简支梁受 $F$、$a$、$l$，求 $m$-$m$ 截面的内力。
已知简支梁受 $F$、$a$、$l$，求 $m$-$m$ 截面的内力。
解：求支座反力（求外力）：
已知简支梁受 $F$、$a$、$l$，求 $m$-$m$ 截面的内力。
解：求支座反力（求外力）：
$\sum F_x=0,\ F_{Ax}=0$；
已知简支梁受 $F$、$a$、$l$，求 $m$-$m$ 截面的内力。
解：求支座反力（求外力）：
$\sum F_x=0,\ F_{Ax}=0$；$\sum M_A=0,\ F_{By}=\dfrac{Fa}{l}$；
已知简支梁受 $F$、$a$、$l$，求 $m$-$m$ 截面的内力。
解：求支座反力（求外力）：
$\sum F_x=0,\ F_{Ax}=0$；$\sum M_A=0,\ F_{By}=\dfrac{Fa}{l}$；$\sum F_y=0,\ F_{Ay}=\dfrac{F(l-a)}{l}$
§4-3 剪力和弯矩
一、内力计算：截面法
取左段：
取左段：
$\sum F_y=0$,
取左段：
$\sum F_y=0$,$\ F_{Ay}-F_S=0\ \Rightarrow\ F_S=F_{Ay}$
取左段：
$\sum F_y=0$,$\ F_{Ay}-F_S=0\ \Rightarrow\ F_S=F_{Ay}$$\sum M_O=0$ （$O$ 为横截面形心!）
取左段：
$\sum F_y=0$,$\ F_{Ay}-F_S=0\ \Rightarrow\ F_S=F_{Ay}$$\sum M_O=0$ （$O$ 为横截面形心!）
$\ M-F_{Ay}x=0\ \Rightarrow\ M=F_{Ay}x$
取左段：
$\sum F_y=0$,$\ F_{Ay}-F_S=0\ \Rightarrow\ F_S=F_{Ay}$$\sum M_O=0$ （$O$ 为横截面形心!）
$\ M-F_{Ay}x=0\ \Rightarrow\ M=F_{Ay}x$弯曲构件内力: 剪力 $F_S=\sum F_i$
隐身内容1内容弯矩 $M=\sum M_O$
隐身内容1内容弯矩 $M=\sum M_O$
§4-3 剪力和弯矩
二、内力的符号规定
⑴ $F_S$ 的符号：
⑴ $F_S$ 的符号：
对所取梁段上的一点而言，顺时针为正，逆时针为负
（左上右下剪为正）。
（左上右下剪为正）。
⑴ $F_S$ 的符号：
对所取梁段上的一点而言，顺时针为正，逆时针为负
（左上右下剪为正）。 ⑵ $M$ 的符号：
（左上右下剪为正）。 ⑵ $M$ 的符号：
⑴ $F_S$ 的符号：
对所取梁段上的一点而言，顺时针为正，逆时针为负
（左上右下剪为正）。 ⑵ $M$ 的符号： 使梁呈"盛水"变形为正，使梁呈"倒水"变形为负
（积水为正）。
（左上右下剪为正）。 ⑵ $M$ 的符号： 使梁呈"盛水"变形为正，使梁呈"倒水"变形为负
（积水为正）。
⑴ $F_S$ 的符号：
对所取梁段上的一点而言，顺时针为正，逆时针为负
（左上右下剪为正）。 ⑵ $M$ 的符号： 使梁呈"盛水"变形为正，使梁呈"倒水"变形为负
（积水为正）。 内力方向要采用"设正法"
（左上右下剪为正）。 ⑵ $M$ 的符号： 使梁呈"盛水"变形为正，使梁呈"倒水"变形为负
（积水为正）。 内力方向要采用"设正法"
例1
外伸梁 A 端受 $qa$，BC端有均布荷载 $q$，求内力
解：⑴ 求支反力：
解：⑴ 求支反力：
$\sum M_B=0,\ F_C\cdot2a+qa^2-2qa^2=0$$\sum M_C=0,\ 3qa^2+2qa^2-F_B\cdot2a=0$
解：⑴ 求支反力：
$\sum M_B=0,\ F_C\cdot2a+qa^2-2qa^2=0$$\sum M_C=0,\ 3qa^2+2qa^2-F_B\cdot2a=0$
解得 $F_B=\dfrac{5}{2}qa$，$F_C=\dfrac{1}{2}qa$
解：⑴ 求支反力：
$\sum M_B=0,\ F_C\cdot2a+qa^2-2qa^2=0$$\sum M_C=0,\ 3qa^2+2qa^2-F_B\cdot2a=0$
解得 $F_B=\dfrac{5}{2}qa$，$F_C=\dfrac{1}{2}qa$
$AB$ 段：解：⑴ 求支反力：
$\sum M_B=0,\ F_C\cdot2a+qa^2-2qa^2=0$$\sum M_C=0,\ 3qa^2+2qa^2-F_B\cdot2a=0$
解得 $F_B=\dfrac{5}{2}qa$，$F_C=\dfrac{1}{2}qa$
$AB$ 段：
$\sum F_y=0,\ \ -qa-F_S=0 $解：⑴ 求支反力：
$\sum M_B=0,\ F_C\cdot2a+qa^2-2qa^2=0$$\sum M_C=0,\ 3qa^2+2qa^2-F_B\cdot2a=0$
解得 $F_B=\dfrac{5}{2}qa$，$F_C=\dfrac{1}{2}qa$
$AB$ 段：
$\sum F_y=0,\ \ -qa-F_S=0 $$F_S(x_1)=-qa \ (0<x_1<a)$
解：⑴ 求支反力：
$\sum M_B=0,\ F_C\cdot2a+qa^2-2qa^2=0$$\sum M_C=0,\ 3qa^2+2qa^2-F_B\cdot2a=0$
解得 $F_B=\dfrac{5}{2}qa$，$F_C=\dfrac{1}{2}qa$
$AB$ 段：
$\sum F_y=0,\ \ -qa-F_S=0 $$F_S(x_1)=-qa \ (0<x_1<a)$
$\sum M_O=0,\ M+qa\cdot x_1=0 $解：⑴ 求支反力：
$\sum M_B=0,\ F_C\cdot2a+qa^2-2qa^2=0$$\sum M_C=0,\ 3qa^2+2qa^2-F_B\cdot2a=0$
解得 $F_B=\dfrac{5}{2}qa$，$F_C=\dfrac{1}{2}qa$
$AB$ 段：
$\sum F_y=0,\ \ -qa-F_S=0 $$F_S(x_1)=-qa \ (0<x_1<a)$
$\sum M_O=0,\ M+qa\cdot x_1=0 $$M(x_1)=-qa\,x_1\ (0\le x_1\le a)$
例1
外伸梁 A 端受 $qa$，BC端有均布荷载 $q$，求内力
解：CB 段
解：CB 段
$\sum F_y=0$,$-qa-F_S+F_B-q(x_2-a)=0 $
解：CB 段
$\sum F_y=0$,$-qa-F_S+F_B-q(x_2-a)=0 $
$F_S(x_2)=\dfrac{5}{2}qa-qx_2\ (a<x_2<3a)$
解：CB 段
$\sum F_y=0$,$-qa-F_S+F_B-q(x_2-a)=0 $
$F_S(x_2)=\dfrac{5}{2}qa-qx_2\ (a<x_2<3a)$
$\sum M_O=0$,$ M+qa\cdot x_2-F_B(x_2-a)+\frac{1}{2}q(x_2-a)^2=0 $解：CB 段
$\sum F_y=0$,$-qa-F_S+F_B-q(x_2-a)=0 $
$F_S(x_2)=\dfrac{5}{2}qa-qx_2\ (a<x_2<3a)$
$\sum M_O=0$,$ M+qa\cdot x_2-F_B(x_2-a)+\frac{1}{2}q(x_2-a)^2=0 $$M(x_2)=\dfrac{1}{2}q(x_2-a)^2-\dfrac{3}{2}qa\,x_2+\dfrac{5}{2}qa^2 \\(a<x_2<3a)$
§4-4 剪力图和弯矩图
用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程：
用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程：
剪力方程隐身$F_S=F_S(x)$
用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程：
剪力方程隐身$F_S=F_S(x)$
弯矩方程隐身$M=M(x)$
用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程：
剪力方程隐身$F_S=F_S(x)$
弯矩方程隐身$M=M(x)$
二、剪力图、弯矩图画法规则：用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程：
剪力方程隐身$F_S=F_S(x)$
弯矩方程隐身$M=M(x)$
二、剪力图、弯矩图画法规则：- ⑴ 分段求 $F_S(x)$、$M(x)$ 方程
用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程：
剪力方程隐身$F_S=F_S(x)$
弯矩方程隐身$M=M(x)$
二、剪力图、弯矩图画法规则：- ⑴ 分段求 $F_S(x)$、$M(x)$ 方程
- ⑵ 原点选在梁的最左边
用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程：
剪力方程隐身$F_S=F_S(x)$
弯矩方程隐身$M=M(x)$
二、剪力图、弯矩图画法规则：- ⑴ 分段求 $F_S(x)$、$M(x)$ 方程
- ⑵ 原点选在梁的最左边
- ⑶ $F_S$、$M$ 图与载荷图上下对齐、一一对应
简支梁在集中力 F 作用下的剪力弯矩图
解：(1) 求支反力：
解：(1) 求支反力：
$\sum M_B=0,\ Fb-F_A\,l=0$，
解：(1) 求支反力：
$\sum M_B=0,\ Fb-F_A\,l=0$，$\sum M_A=0,\ F_B l-Fa=0$
解：(1) 求支反力：
$\sum M_B=0,\ Fb-F_A\,l=0$，$\sum M_A=0,\ F_B l-Fa=0$解得：
解：(1) 求支反力：
$\sum M_B=0,\ Fb-F_A\,l=0$，$\sum M_A=0,\ F_B l-Fa=0$解得：
$F_A=\dfrac{b}{l}F$,
解：(1) 求支反力：
$\sum M_B=0,\ Fb-F_A\,l=0$，$\sum M_A=0,\ F_B l-Fa=0$解得：
$F_A=\dfrac{b}{l}F$,
$F_B=\dfrac{a}{l}F$
简支梁在集中力 F 作用下的剪力弯矩图
(2) 分段列$F_S$、$M$方程:
(2) 分段列$F_S$、$M$方程:
AC 段：$\sum F_y=0, \ F_A-F_S=0$
(2) 分段列$F_S$、$M$方程:
AC 段：$\sum F_y=0, \ F_A-F_S=0$
$F_S(x_1)=\dfrac{b}{l}F\ \ \ (0<x_1<a)$，
(2) 分段列$F_S$、$M$方程:
AC 段：$\sum F_y=0, \ F_A-F_S=0$
$F_S(x_1)=\dfrac{b}{l}F\ \ \ (0<x_1<a)$，
$\sum M_O=0, \ M-F_A x_1=0$(2) 分段列$F_S$、$M$方程:
AC 段：$\sum F_y=0, \ F_A-F_S=0$
$F_S(x_1)=\dfrac{b}{l}F\ \ \ (0<x_1<a)$，
$\sum M_O=0, \ M-F_A x_1=0$$M(x_1)=\dfrac{b}{l}Fx_1\ \ \ (0\le x_1\le a)$
(2) 分段列$F_S$、$M$方程:
AC 段：$\sum F_y=0, \ F_A-F_S=0$
$F_S(x_1)=\dfrac{b}{l}F\ \ \ (0<x_1<a)$，
$\sum M_O=0, \ M-F_A x_1=0$$M(x_1)=\dfrac{b}{l}Fx_1\ \ \ (0\le x_1\le a)$
CB 段：$\sum F_y=0, \ F_A-F-F_S=0$(2) 分段列$F_S$、$M$方程:
AC 段：$\sum F_y=0, \ F_A-F_S=0$
$F_S(x_1)=\dfrac{b}{l}F\ \ \ (0<x_1<a)$，
$\sum M_O=0, \ M-F_A x_1=0$$M(x_1)=\dfrac{b}{l}Fx_1\ \ \ (0\le x_1\le a)$
CB 段：$\sum F_y=0, \ F_A-F-F_S=0$
$F_S(x_2)=-\dfrac{a}{l}F\ \ \ (a<x_2<l)$，
(2) 分段列$F_S$、$M$方程:
AC 段：$\sum F_y=0, \ F_A-F_S=0$
$F_S(x_1)=\dfrac{b}{l}F\ \ \ (0<x_1<a)$，
$\sum M_O=0, \ M-F_A x_1=0$$M(x_1)=\dfrac{b}{l}Fx_1\ \ \ (0\le x_1\le a)$
CB 段：$\sum F_y=0, \ F_A-F-F_S=0$
$F_S(x_2)=-\dfrac{a}{l}F\ \ \ (a<x_2<l)$，
$\sum F_y=0, \ F_A-F_S=0$(2) 分段列$F_S$、$M$方程:
AC 段：$\sum F_y=0, \ F_A-F_S=0$
$F_S(x_1)=\dfrac{b}{l}F\ \ \ (0<x_1<a)$，
$\sum M_O=0, \ M-F_A x_1=0$$M(x_1)=\dfrac{b}{l}Fx_1\ \ \ (0\le x_1\le a)$
CB 段：$\sum F_y=0, \ F_A-F-F_S=0$
$F_S(x_2)=-\dfrac{a}{l}F\ \ \ (a<x_2<l)$，
$\sum F_y=0, \ F_A-F_S=0$$M(x_2)=\dfrac{a}{l}F(l-x_2)\ (a\le x_2\le l)$
简支梁在集中力 F 作用下的剪力弯矩图
(3) 求控制点坐标
$F_S(x_1)=\dfrac{b}{l}F\ \ \ (0<x_1<a)$
$F_S(x_1)=\dfrac{b}{l}F\ \ \ (0<x_1<a)$$M(x_1)=\dfrac{b}{l}Fx_1\ \ \ (0\le x_1\le a)$
$F_S(x_1)=\dfrac{b}{l}F\ \ \ (0<x_1<a)$$M(x_1)=\dfrac{b}{l}Fx_1\ \ \ (0\le x_1\le a)$$F_S(x_2)=-\dfrac{a}{l}F\ \ \ (a<x_2<l)$
$F_S(x_1)=\dfrac{b}{l}F\ \ \ (0<x_1<a)$$M(x_1)=\dfrac{b}{l}Fx_1\ \ \ (0\le x_1\le a)$$F_S(x_2)=-\dfrac{a}{l}F\ \ \ (a<x_2<l)$$M(x_2)=\dfrac{a}{l}F(l-x_2)\ (a\le x_2\le l)$
简支梁在集中力 F 作用下的剪力弯矩图
(4) 绘图
$F_S(x_1)=\dfrac{b}{l}F\ \ \ (0<x_1<a)$
$F_S(x_1)=\dfrac{b}{l}F\ \ \ (0<x_1<a)$$M(x_1)=\dfrac{b}{l}Fx_1\ \ \ (0\le x_1\le a)$
$F_S(x_1)=\dfrac{b}{l}F\ \ \ (0<x_1<a)$$M(x_1)=\dfrac{b}{l}Fx_1\ \ \ (0\le x_1\le a)$$F_S(x_2)=-\dfrac{a}{l}F\ \ \ (a<x_2<l)$
$F_S(x_1)=\dfrac{b}{l}F\ \ \ (0<x_1<a)$$M(x_1)=\dfrac{b}{l}Fx_1\ \ \ (0\le x_1\le a)$$F_S(x_2)=-\dfrac{a}{l}F\ \ \ (a<x_2<l)$$M(x_2)=\dfrac{a}{l}F(l-x_2)\ (a\le x_2\le l)$
$F_S(x_1)=\dfrac{b}{l}F\ \ \ (0<x_1<a)$$M(x_1)=\dfrac{b}{l}Fx_1\ \ \ (0\le x_1\le a)$$F_S(x_2)=-\dfrac{a}{l}F\ \ \ (a<x_2<l)$$M(x_2)=\dfrac{a}{l}F(l-x_2)\ (a\le x_2\le l)$$|F_S|_{\max}=\dfrac{aF}{l}\ (a>b)$，$|M|_{\max}=\dfrac{ab}{l}F$
$F_S(x_1)=\dfrac{b}{l}F\ \ \ (0<x_1<a)$$M(x_1)=\dfrac{b}{l}Fx_1\ \ \ (0\le x_1\le a)$$F_S(x_2)=-\dfrac{a}{l}F\ \ \ (a<x_2<l)$$M(x_2)=\dfrac{a}{l}F(l-x_2)\ (a\le x_2\le l)$$|F_S|_{\max}=\dfrac{aF}{l}\ (a>b)$，$|M|_{\max}=\dfrac{ab}{l}F$
结论在集中力 F 作用处：
(1) $F_S$ 图有突变，突变量大小、方向同于 F；
(2) $M$ 图有尖点。
(1) $F_S$ 图有突变，突变量大小、方向同于 F；
(2) $M$ 图有尖点。
简支梁在集中力偶 $M_e$ 作用下的剪力弯矩图
解：（1）支反力：
解：（1）支反力：
$F_A=\dfrac{M_o}{l}$，$F_B=-\dfrac{M_o}{l}$
解：（1）支反力：
$F_A=\dfrac{M_o}{l}$，$F_B=-\dfrac{M_o}{l}$
（2）分段列剪力、弯矩方程：解：（1）支反力：
$F_A=\dfrac{M_o}{l}$，$F_B=-\dfrac{M_o}{l}$
（2）分段列剪力、弯矩方程：
AC段：解：（1）支反力：
$F_A=\dfrac{M_o}{l}$，$F_B=-\dfrac{M_o}{l}$
（2）分段列剪力、弯矩方程：
AC段：
$\sum F_y=0, \ F_A-F_S=0$解：（1）支反力：
$F_A=\dfrac{M_o}{l}$，$F_B=-\dfrac{M_o}{l}$
（2）分段列剪力、弯矩方程：
AC段：
$\sum F_y=0, \ F_A-F_S=0$$F_S(x_1)=\dfrac{M_o}{l}\ (0<x_1\le a)$
解：（1）支反力：
$F_A=\dfrac{M_o}{l}$，$F_B=-\dfrac{M_o}{l}$
（2）分段列剪力、弯矩方程：
AC段：
$\sum F_y=0, \ F_A-F_S=0$$F_S(x_1)=\dfrac{M_o}{l}\ (0<x_1\le a)$
$\sum M_O=0, \ M-F_A x_1=0$解：（1）支反力：
$F_A=\dfrac{M_o}{l}$，$F_B=-\dfrac{M_o}{l}$
（2）分段列剪力、弯矩方程：
AC段：
$\sum F_y=0, \ F_A-F_S=0$$F_S(x_1)=\dfrac{M_o}{l}\ (0<x_1\le a)$
$\sum M_O=0, \ M-F_A x_1=0$$M(x_1)=\dfrac{M_o}{l}x_1\ (0\le x_1<a)$
简支梁在集中力偶 $M_e$ 作用下的剪力弯矩图
CB 段：
CB 段：
$\sum F_y=0, \ F_A-F_S=0$
CB 段：
$\sum F_y=0, \ F_A-F_S=0$
$F_S(x_2)=\dfrac{M_o}{l}\ (a\le x_2<l)$
CB 段：
$\sum F_y=0, \ F_A-F_S=0$
$F_S(x_2)=\dfrac{M_o}{l}\ (a\le x_2<l)$
$\sum M_O=0, \ M-F_A x_2+M_e=0$CB 段：
$\sum F_y=0, \ F_A-F_S=0$
$F_S(x_2)=\dfrac{M_o}{l}\ (a\le x_2<l)$
$\sum M_O=0, \ M-F_A x_2+M_e=0$$M(x_2)=-\dfrac{M_o}{l}(l-x_2)\ (a<x_2\le l)$
简支梁在集中力偶 $M_e$ 作用下的剪力弯矩图
(4) 绘图
(4) 绘图
$F_S(x_1)=\dfrac{M_o}{l}\ (0<x_1\le a)$
(4) 绘图
$F_S(x_1)=\dfrac{M_o}{l}\ (0<x_1\le a)$$M(x_1)=\dfrac{M_o}{l}x_1\ (0\le x_1<a)$
(4) 绘图
$F_S(x_1)=\dfrac{M_o}{l}\ (0<x_1\le a)$$M(x_1)=\dfrac{M_o}{l}x_1\ (0\le x_1<a)$$F_S(x_2)=\dfrac{M_o}{l}\ (a\le x_2<l)$
(4) 绘图
$F_S(x_1)=\dfrac{M_o}{l}\ (0<x_1\le a)$$M(x_1)=\dfrac{M_o}{l}x_1\ (0\le x_1<a)$$F_S(x_2)=\dfrac{M_o}{l}\ (a\le x_2<l)$$M(x_2)=-\dfrac{M_o}{l}(l-x_2)\ (a<x_2\le l)$
(4) 绘图
$F_S(x_1)=\dfrac{M_o}{l}\ (0<x_1\le a)$$M(x_1)=\dfrac{M_o}{l}x_1\ (0\le x_1<a)$$F_S(x_2)=\dfrac{M_o}{l}\ (a\le x_2<l)$$M(x_2)=-\dfrac{M_o}{l}(l-x_2)\ (a<x_2\le l)$$|F_S|_{\max}=\dfrac{M_o}{l}$，$|M|_{\max}=\dfrac{bM_o}{l}$
在集中力偶 M 作用处：(1) $F_S$ 图无改变；(2) $M$ 图有突变，突变量大小、方向同于 M。
简支梁在均布荷载 q 作用下的剪力弯矩图
解：(1) 支反力：
解：(1) 支反力：
$F_A=F_B=\dfrac{1}{2}ql$
解：(1) 支反力：
$F_A=F_B=\dfrac{1}{2}ql$
(2) 列剪力弯矩方程：解：(1) 支反力：
$F_A=F_B=\dfrac{1}{2}ql$
(2) 列剪力弯矩方程：
$\sum F_y=0, \ F_A-F_S-qx=0$解：(1) 支反力：
$F_A=F_B=\dfrac{1}{2}ql$
(2) 列剪力弯矩方程：
$\sum F_y=0, \ F_A-F_S-qx=0$$F_S(x)=\dfrac{1}{2}ql-qx\ (0<x<l)$
解：(1) 支反力：
$F_A=F_B=\dfrac{1}{2}ql$
(2) 列剪力弯矩方程：
$\sum F_y=0, \ F_A-F_S-qx=0$$F_S(x)=\dfrac{1}{2}ql-qx\ (0<x<l)$
$\sum M_O=0, \ M-F_A x+qx \dfrac{x}{2}=0$解：(1) 支反力：
$F_A=F_B=\dfrac{1}{2}ql$
(2) 列剪力弯矩方程：
$\sum F_y=0, \ F_A-F_S-qx=0$$F_S(x)=\dfrac{1}{2}ql-qx\ (0<x<l)$
$\sum M_O=0, \ M-F_A x+qx \dfrac{x}{2}=0$$M(x)=\dfrac{1}{2}qlx-\dfrac{1}{2}qx^2\ (0\le x\le l)$
简支梁在均布荷载 q 作用下的剪力弯矩图
(3) 绘图
(3) 绘图
$F_S(x)=\dfrac{1}{2}ql-qx\ (0<x<l)$
(3) 绘图
$F_S(x)=\dfrac{1}{2}ql-qx\ (0<x<l)$$M(x)=\dfrac{1}{2}qlx-\dfrac{1}{2}qx^2\ (0\le x\le l)$
(3) 绘图
$F_S(x)=\dfrac{1}{2}ql-qx\ (0<x<l)$$M(x)=\dfrac{1}{2}qlx-\dfrac{1}{2}qx^2\ (0\le x\le l)$$|F_S|_{\max}=\dfrac{1}{2}ql$，$|M|_{\max}=\dfrac{1}{8}ql^2$
在均布载荷作用处：(1) $F_S$ 图为斜直线；(2) $M$ 图为抛物线，用"下雨打伞"规则。
悬臂梁自由端受集中力 F 作用下的剪力弯矩图
解：
解：
取自由端一侧：
解：
取自由端一侧：
$\sum F_y=0,\ -F-F_S=0$
解：
取自由端一侧：
$\sum F_y=0,\ -F-F_S=0$
$ F_S(x)=-F\ (0<x<l)$
解：
取自由端一侧：
$\sum F_y=0,\ -F-F_S=0$
$ F_S(x)=-F\ (0<x<l)$
$\sum M_O=0,\ M+Fx=0$解：
取自由端一侧：
$\sum F_y=0,\ -F-F_S=0$
$ F_S(x)=-F\ (0<x<l)$
$\sum M_O=0,\ M+Fx=0$$ M(x)=-Fx\ (0\le x<l)$
解：
取自由端一侧：
$\sum F_y=0,\ -F-F_S=0$
$|F_S|_{\max}=F$，$|M|_{\max}=Fl$（固定端处）
$ F_S(x)=-F\ (0<x<l)$
$\sum M_O=0,\ M+Fx=0$$ M(x)=-Fx\ (0\le x<l)$
$|F_S|_{\max}=F$，$|M|_{\max}=Fl$（固定端处）
例2：已知如图，作剪力、弯矩图
解：(1) 支反力：
解：(1) 支反力：
$F_A=14.5\,\mathrm{kN}$，$F_B=3.5\,\mathrm{kN}$
解：(1) 支反力：
$F_A=14.5\,\mathrm{kN}$，$F_B=3.5\,\mathrm{kN}$
(2) 分段列剪力弯矩方程：解：(1) 支反力：
$F_A=14.5\,\mathrm{kN}$，$F_B=3.5\,\mathrm{kN}$
(2) 分段列剪力弯矩方程：
CA 段：解：(1) 支反力：
$F_A=14.5\,\mathrm{kN}$，$F_B=3.5\,\mathrm{kN}$
(2) 分段列剪力弯矩方程：
CA 段：
$\sum F_y=0, \ -F_S-qx=0$解：(1) 支反力：
$F_A=14.5\,\mathrm{kN}$，$F_B=3.5\,\mathrm{kN}$
(2) 分段列剪力弯矩方程：
CA 段：
$\sum F_y=0, \ -F_S-qx=0$$F_S(x)=-3x\ (0\le x<2)$
解：(1) 支反力：
$F_A=14.5\,\mathrm{kN}$，$F_B=3.5\,\mathrm{kN}$
(2) 分段列剪力弯矩方程：
CA 段：
$\sum F_y=0, \ -F_S-qx=0$$F_S(x)=-3x\ (0\le x<2)$
$\sum M_O=0, \ M+qx \dfrac{x}{2}=0$解：(1) 支反力：
$F_A=14.5\,\mathrm{kN}$，$F_B=3.5\,\mathrm{kN}$
(2) 分段列剪力弯矩方程：
CA 段：
$\sum F_y=0, \ -F_S-qx=0$$F_S(x)=-3x\ (0\le x<2)$
$\sum M_O=0, \ M+qx \dfrac{x}{2}=0$$M(x)=-\dfrac{3}{2}x^2\ (0\le x\le 2)$
例2：已知如图，作剪力、弯矩图
AD 段：
AD 段：
$\sum F_y=0, \ F_A-F_S-qx=0$
AD 段：
$\sum F_y=0, \ F_A-F_S-qx=0$
$F_S(x)=14.5-3x\ (2<x\le6)$
AD 段：
$\sum F_y=0, \ F_A-F_S-qx=0$
$F_S(x)=14.5-3x\ (2<x\le6)$
$\sum M_O=0, \ M+qx \dfrac{x}{2}-F_A(x-2)=0$AD 段：
$\sum F_y=0, \ F_A-F_S-qx=0$
$F_S(x)=14.5-3x\ (2<x\le6)$
$\sum M_O=0, \ M+qx \dfrac{x}{2}-F_A(x-2)=0$$M(x)=14.5(x-2)-\dfrac{3}{2}x^2\ (2\le x<6)$
AD 段：
$\sum F_y=0, \ F_A-F_S-qx=0$
$F_S(x)=14.5-3x\ (2<x\le6)$
$\sum M_O=0, \ M+qx \dfrac{x}{2}-F_A(x-2)=0$$M(x)=14.5(x-2)-\dfrac{3}{2}x^2\ (2\le x<6)$
DB 段：AD 段：
$\sum F_y=0, \ F_A-F_S-qx=0$
$F_S(x)=14.5-3x\ (2<x\le6)$
$\sum M_O=0, \ M+qx \dfrac{x}{2}-F_A(x-2)=0$$M(x)=14.5(x-2)-\dfrac{3}{2}x^2\ (2\le x<6)$
DB 段：
$\sum F_y=0, \ F_B+F_S=0$AD 段：
$\sum F_y=0, \ F_A-F_S-qx=0$
$F_S(x)=14.5-3x\ (2<x\le6)$
$\sum M_O=0, \ M+qx \dfrac{x}{2}-F_A(x-2)=0$$M(x)=14.5(x-2)-\dfrac{3}{2}x^2\ (2\le x<6)$
DB 段：
$\sum F_y=0, \ F_B+F_S=0$$F_S(x)=-3.5\ (0\le x<2)$
AD 段：
$\sum F_y=0, \ F_A-F_S-qx=0$
$F_S(x)=14.5-3x\ (2<x\le6)$
$\sum M_O=0, \ M+qx \dfrac{x}{2}-F_A(x-2)=0$$M(x)=14.5(x-2)-\dfrac{3}{2}x^2\ (2\le x<6)$
DB 段：
$\sum F_y=0, \ F_B+F_S=0$$F_S(x)=-3.5\ (0\le x<2)$
$\sum M_O=0, \ -M+F_B x=0$AD 段：
$\sum F_y=0, \ F_A-F_S-qx=0$
$F_S(x)=14.5-3x\ (2<x\le6)$
$\sum M_O=0, \ M+qx \dfrac{x}{2}-F_A(x-2)=0$$M(x)=14.5(x-2)-\dfrac{3}{2}x^2\ (2\le x<6)$
DB 段：
$\sum F_y=0, \ F_B+F_S=0$$F_S(x)=-3.5\ (0\le x<2)$
$\sum M_O=0, \ -M+F_B x=0$$M(x)=3.5x\ (0<x\le2)$
例2：已知如图，作剪力、弯矩图
（3）特殊点的处理：
（3）特殊点的处理：
令 $\dfrac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x}=14.5-3x=0$，得 $x=4.83\,\mathrm{m}$
（3）特殊点的处理：
令 $\dfrac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x}=14.5-3x=0$，得 $x=4.83\,\mathrm{m}$
代入： $M(x)=14.5(x-2)-\dfrac{3}{2}x^2\ (2\le x<6)$
（3）特殊点的处理：
令 $\dfrac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x}=14.5-3x=0$，得 $x=4.83\,\mathrm{m}$
代入： $M(x)=14.5(x-2)-\dfrac{3}{2}x^2\ (2\le x<6)$
$M=14.5\times2.83-\dfrac{3}{2}\times4.83^2=6.04\,\mathrm{kN\cdot m}$
（3）特殊点的处理：
令 $\dfrac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x}=14.5-3x=0$，得 $x=4.83\,\mathrm{m}$
代入： $M(x)=14.5(x-2)-\dfrac{3}{2}x^2\ (2\le x<6)$
$M=14.5\times2.83-\dfrac{3}{2}\times4.83^2=6.04\,\mathrm{kN\cdot m}$(4) 绘图
（3）特殊点的处理：
令 $\dfrac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x}=14.5-3x=0$，得 $x=4.83\,\mathrm{m}$
代入： $M(x)=14.5(x-2)-\dfrac{3}{2}x^2\ (2\le x<6)$
$M=14.5\times2.83-\dfrac{3}{2}\times4.83^2=6.04\,\mathrm{kN\cdot m}$(4) 绘图
$F_S(x)=-3x\ (0\le x<2)$$M(x)=-\dfrac{3}{2}x^2\ (0\le x\le 2)$$F_S(x)=14.5-3x\ (2<x\le6)$$M(x)=14.5(x-2)-\dfrac{3}{2}x^2\ (2\le x<6)$$F_S(x)=-3.5\ (0\le x<2)$$M(x)=3.5x\ (0<x\le2)$
例3：简支梁 A-B 跨均布 q、外伸端 C 受 $qa$，作剪力弯矩图
解：(1) 支反力：
解：(1) 支反力：
$F_A=\dfrac{1}{2}qa$，$F_B=\dfrac{5}{2}qa$
解：(1) 支反力：
$F_A=\dfrac{1}{2}qa$，$F_B=\dfrac{5}{2}qa$
AB 段：解：(1) 支反力：
$F_A=\dfrac{1}{2}qa$，$F_B=\dfrac{5}{2}qa$
AB 段：
$F_S(x_1)=\dfrac{1}{2}qa-qx_1\ \ \ \ (0<x_1<2a)$
解：(1) 支反力：
$F_A=\dfrac{1}{2}qa$，$F_B=\dfrac{5}{2}qa$
AB 段：
$F_S(x_1)=\dfrac{1}{2}qa-qx_1\ \ \ \ (0<x_1<2a)$
$M(x_1)=\dfrac{1}{2}qa\,x_1-\dfrac{1}{2}qx_1^2\ \ (0\le x_1\le2a)$
解：(1) 支反力：
$F_A=\dfrac{1}{2}qa$，$F_B=\dfrac{5}{2}qa$
AB 段：
$F_S(x_1)=\dfrac{1}{2}qa-qx_1\ \ \ \ (0<x_1<2a)$
$M(x_1)=\dfrac{1}{2}qa\,x_1-\dfrac{1}{2}qx_1^2\ \ (0\le x_1\le2a)$
BC 段：解：(1) 支反力：
$F_A=\dfrac{1}{2}qa$，$F_B=\dfrac{5}{2}qa$
AB 段：
$F_S(x_1)=\dfrac{1}{2}qa-qx_1\ \ \ \ (0<x_1<2a)$
$M(x_1)=\dfrac{1}{2}qa\,x_1-\dfrac{1}{2}qx_1^2\ \ (0\le x_1\le2a)$
BC 段：
$F_S(x_2)=qa\ \ \ \ (0<x_2<a)$
解：(1) 支反力：
$F_A=\dfrac{1}{2}qa$，$F_B=\dfrac{5}{2}qa$
AB 段：
$F_S(x_1)=\dfrac{1}{2}qa-qx_1\ \ \ \ (0<x_1<2a)$
$M(x_1)=\dfrac{1}{2}qa\,x_1-\dfrac{1}{2}qx_1^2\ \ (0\le x_1\le2a)$
BC 段：
$F_S(x_2)=qa\ \ \ \ (0<x_2<a)$
$M(x_2)=-qa\,x_2\ \ \ (0\le x_2\le a)$
例4：如图悬臂梁，作剪力弯矩图
解：
解：
BC 段（自 C 端起算）：
解：
BC 段（自 C 端起算）：
$F_S(x_1)=qa+qx_1\ (0<x_1<a)$
解：
BC 段（自 C 端起算）：
$F_S(x_1)=qa+qx_1\ (0<x_1<a)$
$M(x_1)=-qa\,x_1-\dfrac{1}{2}qx_1^2\ (0\le x_1\le a)$
解：
BC 段（自 C 端起算）：
$F_S(x_1)=qa+qx_1\ (0<x_1<a)$
$M(x_1)=-qa\,x_1-\dfrac{1}{2}qx_1^2\ (0\le x_1\le a)$
AB 段：解：
BC 段（自 C 端起算）：
$F_S(x_1)=qa+qx_1\ (0<x_1<a)$
$M(x_1)=-qa\,x_1-\dfrac{1}{2}qx_1^2\ (0\le x_1\le a)$
AB 段：
$F_S(x_2)=2qa\ (a<x_2<2a)$
解：
BC 段（自 C 端起算）：
$F_S(x_1)=qa+qx_1\ (0<x_1<a)$
$M(x_1)=-qa\,x_1-\dfrac{1}{2}qx_1^2\ (0\le x_1\le a)$
AB 段：
$F_S(x_2)=2qa\ (a<x_2<2a)$
$M(x_2)=-2qa\,x_2+\dfrac{3}{2}qa^2\ (a\le x_2\le2a)$
例5：对称外伸梁，作剪力弯矩图
解：(1) 支反力：
解：(1) 支反力：
隐身内1$F_C=F_E=40\,\mathrm{kN}$
解：(1) 支反力：
隐身内1$F_C=F_E=40\,\mathrm{kN}$
AC 段：$F_S(x)=-30x\ (0\le x<1)$
解：(1) 支反力：
隐身内1$F_C=F_E=40\,\mathrm{kN}$
AC 段：$F_S(x)=-30x\ (0\le x<1)$
隐身内1$M(x)=-15x^2\ (0\le x\le1)$
解：(1) 支反力：
隐身内1$F_C=F_E=40\,\mathrm{kN}$
AC 段：$F_S(x)=-30x\ (0\le x<1)$
隐身内1$M(x)=-15x^2\ (0\le x\le1)$
CD 段：$F_S(x)=10\ (1<x\le2)$
解：(1) 支反力：
隐身内1$F_C=F_E=40\,\mathrm{kN}$
AC 段：$F_S(x)=-30x\ (0\le x<1)$
隐身内1$M(x)=-15x^2\ (0\le x\le1)$
CD 段：$F_S(x)=10\ (1<x\le2)$
隐身内1$M(x)=10x-25\ (1\le x<2)$
解：(1) 支反力：
隐身内1$F_C=F_E=40\,\mathrm{kN}$
AC 段：$F_S(x)=-30x\ (0\le x<1)$
隐身内1$M(x)=-15x^2\ (0\le x\le1)$
CD 段：$F_S(x)=10\ (1<x\le2)$
隐身内1$M(x)=10x-25\ (1\le x<2)$
DE 段：$F_S(x)=-10\ (2\le x<3)$
解：(1) 支反力：
隐身内1$F_C=F_E=40\,\mathrm{kN}$
AC 段：$F_S(x)=-30x\ (0\le x<1)$
隐身内1$M(x)=-15x^2\ (0\le x\le1)$
CD 段：$F_S(x)=10\ (1<x\le2)$
隐身内1$M(x)=10x-25\ (1\le x<2)$
DE 段：$F_S(x)=-10\ (2\le x<3)$
隐身内1$M(x)=15-10x\ (2<x\le3)$
解：(1) 支反力：
隐身内1$F_C=F_E=40\,\mathrm{kN}$
AC 段：$F_S(x)=-30x\ (0\le x<1)$
隐身内1$M(x)=-15x^2\ (0\le x\le1)$
CD 段：$F_S(x)=10\ (1<x\le2)$
隐身内1$M(x)=10x-25\ (1\le x<2)$
DE 段：$F_S(x)=-10\ (2\le x<3)$
隐身内1$M(x)=15-10x\ (2<x\le3)$
EB 段：$F_S(x)=120-30x\ (3\le x<4)$
解：(1) 支反力：
隐身内1$F_C=F_E=40\,\mathrm{kN}$
AC 段：$F_S(x)=-30x\ (0\le x<1)$
隐身内1$M(x)=-15x^2\ (0\le x\le1)$
CD 段：$F_S(x)=10\ (1<x\le2)$
隐身内1$M(x)=10x-25\ (1\le x<2)$
DE 段：$F_S(x)=-10\ (2\le x<3)$
隐身内1$M(x)=15-10x\ (2<x\le3)$
EB 段：$F_S(x)=120-30x\ (3\le x<4)$
隐身内1$M(x)=-15(4-x)^2\ (3\le x\le4)$
§4-4 剪力图和弯矩图
三、刚架的内力图
刚节点不能有相对移动和转动的节点。
刚节点不能有相对移动和转动的节点。
刚架隐各部分由刚节点联接而成的结构。
刚节点不能有相对移动和转动的节点。
刚架隐各部分由刚节点联接而成的结构。
内力一般有：轴力 N、剪力 FS、弯矩 M
刚节点不能有相对移动和转动的节点。
刚架隐各部分由刚节点联接而成的结构。
内力一般有：轴力 N、剪力 FS、弯矩 M
轴力图、剪力图画在刚架任一侧，标明正负号
刚节点不能有相对移动和转动的节点。
刚架隐各部分由刚节点联接而成的结构。
内力一般有：轴力 N、剪力 FS、弯矩 M
轴力图、剪力图画在刚架任一侧，标明正负号
弯矩图画在刚架受压一侧，不标正负号。
§4-4 剪力图和弯矩图
例题：画刚架的弯矩图
解：(1) 求反力（略）隐身内容 (2) 列剪力弯矩方程
解：(1) 求反力（略）隐身内容 (2) 列剪力弯矩方程
AC 段：隐身$M(x_1)=Fx_1\ \textcolor{transparent}{隐身内容}(0\le x_1\le a)$
解：(1) 求反力（略）隐身内容 (2) 列剪力弯矩方程
AC 段：隐身$M(x_1)=Fx_1\ \textcolor{transparent}{隐身内容}(0\le x_1\le a)$
CB 段：隐身$M(x_2)=Fa-Fx_2\ \textcolor{transparent}{隐1}(0\le x_2\le1.5a)$
解：(1) 求反力（略）隐身内容 (2) 列剪力弯矩方程
AC 段：隐身$M(x_1)=Fx_1\ \textcolor{transparent}{隐身内容}(0\le x_1\le a)$
CB 段：隐身$M(x_2)=Fa-Fx_2\ \textcolor{transparent}{隐1}(0\le x_2\le1.5a)$
弯矩图（见右图）：水平杆三角形至 $Fa$，竖直杆自 $Fa$ 过零转侧、B 端 $0.5Fa$。
例5：已知如图，作剪力弯矩图
解：(1) 支反力：$F_A=-qa$，$F_B=-2qa$
解：(1) 支反力：$F_A=-qa$，$F_B=-2qa$
AB 段：
解：(1) 支反力：$F_A=-qa$，$F_B=-2qa$
AB 段：
$F_S(x_1)=-qa+qx_1\ (0<x_1<2a)$
解：(1) 支反力：$F_A=-qa$，$F_B=-2qa$
AB 段：
$F_S(x_1)=-qa+qx_1\ (0<x_1<2a)$
$M(x_1)=\dfrac{1}{2}qx_1^2-qa\,x_1\ (0\le x_1\le2a)$
解：(1) 支反力：$F_A=-qa$，$F_B=-2qa$
AB 段：
$F_S(x_1)=-qa+qx_1\ (0<x_1<2a)$
$M(x_1)=\dfrac{1}{2}qx_1^2-qa\,x_1\ (0\le x_1\le2a)$
$\dfrac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x}=qx_1-qa=F_S(x)$，$\dfrac{\mathrm{d}F_S}{\mathrm{d}x}=q$解：(1) 支反力：$F_A=-qa$，$F_B=-2qa$
AB 段：
$F_S(x_1)=-qa+qx_1\ (0<x_1<2a)$
$M(x_1)=\dfrac{1}{2}qx_1^2-qa\,x_1\ (0\le x_1\le2a)$
$\dfrac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x}=qx_1-qa=F_S(x)$，$\dfrac{\mathrm{d}F_S}{\mathrm{d}x}=q$
BC 段：解：(1) 支反力：$F_A=-qa$，$F_B=-2qa$
AB 段：
$F_S(x_1)=-qa+qx_1\ (0<x_1<2a)$
$M(x_1)=\dfrac{1}{2}qx_1^2-qa\,x_1\ (0\le x_1\le2a)$
$\dfrac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x}=qx_1-qa=F_S(x)$，$\dfrac{\mathrm{d}F_S}{\mathrm{d}x}=q$
BC 段：
$F_S(x_2)=-qa\ (2a<x_2<3a)$
解：(1) 支反力：$F_A=-qa$，$F_B=-2qa$
AB 段：
$F_S(x_1)=-qa+qx_1\ (0<x_1<2a)$
$M(x_1)=\dfrac{1}{2}qx_1^2-qa\,x_1\ (0\le x_1\le2a)$
$\dfrac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x}=qx_1-qa=F_S(x)$，$\dfrac{\mathrm{d}F_S}{\mathrm{d}x}=q$
BC 段：
$F_S(x_2)=-qa\ (2a<x_2<3a)$
$M(x_2)=3qa^2-qa\,x_2\ (2a\le x_2\le3a)$
解：(1) 支反力：$F_A=-qa$，$F_B=-2qa$
AB 段：
$F_S(x_1)=-qa+qx_1\ (0<x_1<2a)$
$M(x_1)=\dfrac{1}{2}qx_1^2-qa\,x_1\ (0\le x_1\le2a)$
$\dfrac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x}=qx_1-qa=F_S(x)$，$\dfrac{\mathrm{d}F_S}{\mathrm{d}x}=q$
BC 段：
$F_S(x_2)=-qa\ (2a<x_2<3a)$
$M(x_2)=3qa^2-qa\,x_2\ (2a\le x_2\le3a)$
$\dfrac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x}=-qa=F_S(x)$，$\dfrac{\mathrm{d}F_S}{\mathrm{d}x}=0$
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
一、微分关系
梁上取微段 $\mathrm{d}x$，由平衡：
梁上取微段 $\mathrm{d}x$，由平衡：
$\sum F_Y=0,\ F_s(x)-[F_s(x)+\mathrm{d}F_s(x)]+q(x)\mathrm{d}x=0$
梁上取微段 $\mathrm{d}x$，由平衡：
$\sum F_Y=0,\ F_s(x)-[F_s(x)+\mathrm{d}F_s(x)]+q(x)\mathrm{d}x=0$$\sum M_C=0,\ \mathrm{d}M(x)-F_s(x)\mathrm{d}x-q(x)\dfrac{(\mathrm{d}x)^2}{2}=0$
梁上取微段 $\mathrm{d}x$，由平衡：
$\sum F_Y=0,\ F_s(x)-[F_s(x)+\mathrm{d}F_s(x)]+q(x)\mathrm{d}x=0$$\sum M_C=0,\ \mathrm{d}M(x)-F_s(x)\mathrm{d}x-q(x)\dfrac{(\mathrm{d}x)^2}{2}=0$微分关系:
梁上取微段 $\mathrm{d}x$，由平衡：
$\sum F_Y=0,\ F_s(x)-[F_s(x)+\mathrm{d}F_s(x)]+q(x)\mathrm{d}x=0$$\sum M_C=0,\ \mathrm{d}M(x)-F_s(x)\mathrm{d}x-q(x)\dfrac{(\mathrm{d}x)^2}{2}=0$微分关系:
$\dfrac{\mathrm{d}F_S(x)}{\mathrm{d}x}=q(x)$（1）
梁上取微段 $\mathrm{d}x$，由平衡：
$\sum F_Y=0,\ F_s(x)-[F_s(x)+\mathrm{d}F_s(x)]+q(x)\mathrm{d}x=0$$\sum M_C=0,\ \mathrm{d}M(x)-F_s(x)\mathrm{d}x-q(x)\dfrac{(\mathrm{d}x)^2}{2}=0$微分关系:
$\dfrac{\mathrm{d}F_S(x)}{\mathrm{d}x}=q(x)$（1）
$\dfrac{\mathrm{d}M(x)}{\mathrm{d}x}=F_S(x)$（2）
梁上取微段 $\mathrm{d}x$，由平衡：
$\sum F_Y=0,\ F_s(x)-[F_s(x)+\mathrm{d}F_s(x)]+q(x)\mathrm{d}x=0$$\sum M_C=0,\ \mathrm{d}M(x)-F_s(x)\mathrm{d}x-q(x)\dfrac{(\mathrm{d}x)^2}{2}=0$微分关系:
$\dfrac{\mathrm{d}F_S(x)}{\mathrm{d}x}=q(x)$（1）
$\dfrac{\mathrm{d}M(x)}{\mathrm{d}x}=F_S(x)$（2）
$\dfrac{\mathrm{d}^2M(x)}{\mathrm{d}x^2}=q(x)$（3）
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
二、q(x)、F_S(x)、M(x) 图三者间的关系
1、当 $q=0$ 时：
1、当 $q=0$ 时：
隐身$\dfrac{\mathrm{d}F_S(x)}{\mathrm{d}x}=q(x)=0$
1、当 $q=0$ 时：
隐身$\dfrac{\mathrm{d}F_S(x)}{\mathrm{d}x}=q(x)=0$
隐隐$\therefore F_S(x)=$ 常数
1、当 $q=0$ 时：
隐身$\dfrac{\mathrm{d}F_S(x)}{\mathrm{d}x}=q(x)=0$
隐隐$\therefore F_S(x)=$ 常数
$F_S$ 图为一条水平直线
1、当 $q=0$ 时：
隐身$\dfrac{\mathrm{d}F_S(x)}{\mathrm{d}x}=q(x)=0$
隐隐$\therefore F_S(x)=$ 常数
$F_S$ 图为一条水平直线
隐身$\dfrac{\mathrm{d}M(x)}{\mathrm{d}x}=F_S(x)=C$
1、当 $q=0$ 时：
隐身$\dfrac{\mathrm{d}F_S(x)}{\mathrm{d}x}=q(x)=0$
隐隐$\therefore F_S(x)=$ 常数
$F_S$ 图为一条水平直线
隐身$\dfrac{\mathrm{d}M(x)}{\mathrm{d}x}=F_S(x)=C$
$M$ 图为一条斜直线
1、当 $q=0$ 时：
隐身$\dfrac{\mathrm{d}F_S(x)}{\mathrm{d}x}=q(x)=0$
隐隐$\therefore F_S(x)=$ 常数
$F_S$ 图为一条水平直线
隐身$\dfrac{\mathrm{d}M(x)}{\mathrm{d}x}=F_S(x)=C$
$M$ 图为一条斜直线
（$F_S>0$ 上倾，$F_S<0$ 下倾）。
$\dfrac{\mathrm{d}F_S(x)}{\mathrm{d}x}=q(x)$ 1（1）
$\dfrac{\mathrm{d}M(x)}{\mathrm{d}x}=F_S(x)$（2）
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
二、q(x)、F_S(x)、M(x) 图三者间的关系
2、当 $q=$ 常数时：
2、当 $q=$ 常数时：
隐身11$\dfrac{\mathrm{d}F_S(x)}{\mathrm{d}x}=q=C$
2、当 $q=$ 常数时：
隐身11$\dfrac{\mathrm{d}F_S(x)}{\mathrm{d}x}=q=C$
$F_S$ 图为一条斜直线
2、当 $q=$ 常数时：
隐身11$\dfrac{\mathrm{d}F_S(x)}{\mathrm{d}x}=q=C$
$F_S$ 图为一条斜直线
$q>0$， $F_S$图上倾，$q<0$， $F_S$图下倾
2、当 $q=$ 常数时：
隐身11$\dfrac{\mathrm{d}F_S(x)}{\mathrm{d}x}=q=C$
$F_S$ 图为一条斜直线
$q>0$， $F_S$图上倾，$q<0$， $F_S$图下倾
隐身11$\dfrac{\mathrm{d}^2M(x)}{\mathrm{d}x^2}=q(x)=C$
2、当 $q=$ 常数时：
隐身11$\dfrac{\mathrm{d}F_S(x)}{\mathrm{d}x}=q=C$
$F_S$ 图为一条斜直线
$q>0$， $F_S$图上倾，$q<0$， $F_S$图下倾
隐身11$\dfrac{\mathrm{d}^2M(x)}{\mathrm{d}x^2}=q(x)=C$
$M$ 为抛物线
2、当 $q=$ 常数时：
隐身11$\dfrac{\mathrm{d}F_S(x)}{\mathrm{d}x}=q=C$
$F_S$ 图为一条斜直线
$q>0$， $F_S$图上倾，$q<0$， $F_S$图下倾
隐身11$\dfrac{\mathrm{d}^2M(x)}{\mathrm{d}x^2}=q(x)=C$
$M$ 为抛物线
$q>0$， $M$图下凸，$q<0$， $M$图上凸
$\dfrac{\mathrm{d}M(x)}{\mathrm{d}x}=F_S(x)$（2）$\dfrac{\mathrm{d}^2M(x)}{\mathrm{d}x^2}=q(x)$（3）
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
3、当有集中力时
4、当有集中力偶时
表 4-1 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征
练习：用微分关系作 F_S、M 图
练习：用微分关系作 F_S、M 图
本章结束
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