第三章
扭 转
工程力学 C
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§3-1 扭转的概念和实例
一、工程实例
生活中有很多扭转为主要变形的例子
转动陀螺
飞机螺旋桨传动轴（bushi）
§3-1 扭转的概念和实例
一、工程实例
工程中以扭转为主要变形形式的构件很多，例如传动轴、转向轴、钻床立柱、螺旋桨轴。
汽车传动轴
钻床
§3-1 扭转的概念和实例
受力特点与变形特点
二、受力特点：
隐身杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
三、变形特点：
隐身杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动。
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
一、外力偶矩的计算
已知：传动轴的转速 $n$（r/min）
隐身内输入功率 $P$（kW）
隐身内求力偶矩 $M_e$。
隐身内输入功率 $P$（kW）
隐身内求力偶矩 $M_e$。
已知：传动轴的转速 $n$（r/min）
隐身内输入功率 $P$（kW）
隐身内求力偶矩 $M_e$。 外力偶矩作功：$W=M_e\varphi$
隐身内输入功率 $P$（kW）
隐身内求力偶矩 $M_e$。 外力偶矩作功：$W=M_e\varphi$
已知：传动轴的转速 $n$（r/min）
隐身内输入功率 $P$（kW）
隐身内求力偶矩 $M_e$。 外力偶矩作功：$W=M_e\varphi$ 隐身内容$\varphi=2\pi n$ ⟹ $W=2\pi n M_e$
隐身内输入功率 $P$（kW）
隐身内求力偶矩 $M_e$。 外力偶矩作功：$W=M_e\varphi$ 隐身内容$\varphi=2\pi n$ ⟹ $W=2\pi n M_e$
已知：传动轴的转速 $n$（r/min）
隐身内输入功率 $P$（kW）
隐身内求力偶矩 $M_e$。 外力偶矩作功：$W=M_e\varphi$ 隐身内容$\varphi=2\pi n$ ⟹ $W=2\pi n M_e$ 每分钟输入功 $W_1=P\times1000\times60$
隐身内输入功率 $P$（kW）
隐身内求力偶矩 $M_e$。 外力偶矩作功：$W=M_e\varphi$ 隐身内容$\varphi=2\pi n$ ⟹ $W=2\pi n M_e$ 每分钟输入功 $W_1=P\times1000\times60$
已知：传动轴的转速 $n$（r/min）
隐身内输入功率 $P$（kW）
隐身内求力偶矩 $M_e$。 外力偶矩作功：$W=M_e\varphi$ 隐身内容$\varphi=2\pi n$ ⟹ $W=2\pi n M_e$ 每分钟输入功 $W_1=P\times1000\times60$ 由 $W=W_1$ 得：
隐身内输入功率 $P$（kW）
隐身内求力偶矩 $M_e$。 外力偶矩作功：$W=M_e\varphi$ 隐身内容$\varphi=2\pi n$ ⟹ $W=2\pi n M_e$ 每分钟输入功 $W_1=P\times1000\times60$ 由 $W=W_1$ 得：
已知：传动轴的转速 $n$（r/min）
隐身内输入功率 $P$（kW）
隐身内求力偶矩 $M_e$。 外力偶矩作功：$W=M_e\varphi$ 隐身内容$\varphi=2\pi n$ ⟹ $W=2\pi n M_e$ 每分钟输入功 $W_1=P\times1000\times60$ 由 $W=W_1$ 得：
隐身内输入功率 $P$（kW）
隐身内求力偶矩 $M_e$。 外力偶矩作功：$W=M_e\varphi$ 隐身内容$\varphi=2\pi n$ ⟹ $W=2\pi n M_e$ 每分钟输入功 $W_1=P\times1000\times60$ 由 $W=W_1$ 得：
外力偶矩$M_e=9550\dfrac{P}{n}\ \mathrm{N\cdot m}$
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
二、内力的计算：扭矩
1、大小：
1、大小：
取左段：
1、大小：
取左段：
$\sum m_x=0,\ T-M_e=0$
1、大小：
取左段：
$\sum m_x=0,\ T-M_e=0$隐身内容得 $T=M_e$
1、大小：
取左段：
$\sum m_x=0,\ T-M_e=0$隐身内容得 $T=M_e$
取右段同理: $T=M_e$
1、大小：
取左段：
$\sum m_x=0,\ T-M_e=0$隐身内容得 $T=M_e$
取右段同理: $T=M_e$
2、符号规则（右手螺旋法则）
1、大小：
取左段：
$\sum m_x=0,\ T-M_e=0$隐身内容得 $T=M_e$
取右段同理: $T=M_e$
2、符号规则（右手螺旋法则）
大拇指与截面外法线方向一致为正，相反为负。
1、大小：
取左段：
$\sum m_x=0,\ T-M_e=0$隐身内容得 $T=M_e$
取右段同理: $T=M_e$
2、符号规则（右手螺旋法则）
大拇指与截面外法线方向一致为正，相反为负。
解题时用设正法。
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
三、扭矩图
⒈ 与载荷图上下对齐且一一对应画出
⒈ 与载荷图上下对齐且一一对应画出
⒉ 正的扭矩画在 $x$ 轴上方，负的扭矩图画在 $x$ 轴下方
⒈ 与载荷图上下对齐且一一对应画出
⒉ 正的扭矩画在 $x$ 轴上方，负的扭矩图画在 $x$ 轴下方
⒊ 按大致比例画
例3-1
传动轴 $P_A=36$ kW，$P_B=P_C=11$ kW，$P_D=14$ kW，$n=300$ r/min，画扭矩图
解：1、计算外力偶矩
解：1、计算外力偶矩
$M_{eA}=9550\dfrac{P_A}{n}=1146\,\mathrm{N\cdot m}$
解：1、计算外力偶矩
$M_{eA}=9550\dfrac{P_A}{n}=1146\,\mathrm{N\cdot m}$$M_{eB}=M_{eC} \\\textcolor{transparent}{隐身}=9550\dfrac{P_B}{n}=350\,\mathrm{N\cdot m}$
解：1、计算外力偶矩
$M_{eA}=9550\dfrac{P_A}{n}=1146\,\mathrm{N\cdot m}$$M_{eB}=M_{eC} \\\textcolor{transparent}{隐身}=9550\dfrac{P_B}{n}=350\,\mathrm{N\cdot m}$$M_{eD}=9550\dfrac{P_D}{n}=446\,\mathrm{N\cdot m}$
例3-1
传动轴 $P_A=36$ kW，$P_B=P_C=11$ kW，$P_D=14$ kW，$n=300$ r/min，画扭矩图
解：2、计算扭矩
解：2、计算扭矩
1-1截面
解：2、计算扭矩
1-1截面
$\sum M_x = 0, \quad M_{eB} + T_1 = 0$
解：2、计算扭矩
1-1截面
$\sum M_x = 0, \quad M_{eB} + T_1 = 0$$T_1 = -350\,\mathrm{N\cdot m}$
解：2、计算扭矩
1-1截面
$\sum M_x = 0, \quad M_{eB} + T_1 = 0$$T_1 = -350\,\mathrm{N\cdot m}$2-2截面
解：2、计算扭矩
1-1截面
$\sum M_x = 0, \quad M_{eB} + T_1 = 0$$T_1 = -350\,\mathrm{N\cdot m}$2-2截面
$\sum M_x = 0, \quad M_{eB} + M_{eC} + T_2 = 0$
解：2、计算扭矩
1-1截面
$\sum M_x = 0, \quad M_{eB} + T_1 = 0$$T_1 = -350\,\mathrm{N\cdot m}$2-2截面
$\sum M_x = 0, \quad M_{eB} + M_{eC} + T_2 = 0$$T_2 = -700\,\mathrm{N\cdot m}$
解：2、计算扭矩
1-1截面
$\sum M_x = 0, \quad M_{eB} + T_1 = 0$$T_1 = -350\,\mathrm{N\cdot m}$2-2截面
$\sum M_x = 0, \quad M_{eB} + M_{eC} + T_2 = 0$$T_2 = -700\,\mathrm{N\cdot m}$3-3截面
解：2、计算扭矩
1-1截面
$\sum M_x = 0, \quad M_{eB} + T_1 = 0$$T_1 = -350\,\mathrm{N\cdot m}$2-2截面
$\sum M_x = 0, \quad M_{eB} + M_{eC} + T_2 = 0$$T_2 = -700\,\mathrm{N\cdot m}$3-3截面
$\sum M_x = 0, \quad T_3 - M_{eD} = 0$
解：2、计算扭矩
1-1截面
$\sum M_x = 0, \quad M_{eB} + T_1 = 0$$T_1 = -350\,\mathrm{N\cdot m}$2-2截面
$\sum M_x = 0, \quad M_{eB} + M_{eC} + T_2 = 0$$T_2 = -700\,\mathrm{N\cdot m}$3-3截面
$\sum M_x = 0, \quad T_3 - M_{eD} = 0$$T_3 = 446\,\mathrm{N\cdot m}$
例3-1：主动轮位置的影响
最大扭矩隐身$|T_{\max1}|=700\,\mathrm{N\cdot m}$
最大扭矩隐身$|T_{\max1}|=700\,\mathrm{N\cdot m}$
若 A、D 两轮位置交换，则有
最大扭矩隐身$|T_{\max1}|=700\,\mathrm{N\cdot m}$
若 A、D 两轮位置交换，则有
$|T_{\max2}|=1146\,\mathrm{N\cdot m}$
最大扭矩隐身$|T_{\max1}|=700\,\mathrm{N\cdot m}$
若 A、D 两轮位置交换，则有
$|T_{\max2}|=1146\,\mathrm{N\cdot m}$第二种布局不合理！
最大扭矩隐身$|T_{\max1}|=700\,\mathrm{N\cdot m}$
若 A、D 两轮位置交换，则有
$|T_{\max2}|=1146\,\mathrm{N\cdot m}$第二种布局不合理！
结论:为了减小传动轴内的扭矩，应合理地安排主动轮与从动轮的位置。
§3-3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的剪应力
薄壁圆筒：壁厚 $\delta\le\frac{1}{10}r_0$（$r_0$:圆筒的平均半径）。
薄壁圆筒：壁厚 $\delta\le\frac{1}{10}r_0$（$r_0$:圆筒的平均半径）。
实验观察：
薄壁圆筒：壁厚 $\delta\le\frac{1}{10}r_0$（$r_0$:圆筒的平均半径）。
实验观察：
⑴ 圆周线的形状、间距、大小不变，但绕轴线发生相对转动
薄壁圆筒：壁厚 $\delta\le\frac{1}{10}r_0$（$r_0$:圆筒的平均半径）。
实验观察：
⑴ 圆周线的形状、间距、大小不变，但绕轴线发生相对转动
$\varepsilon_x=0,\ \varepsilon_y=0$
薄壁圆筒：壁厚 $\delta\le\frac{1}{10}r_0$（$r_0$:圆筒的平均半径）。
实验观察：
⑴ 圆周线的形状、间距、大小不变，但绕轴线发生相对转动
$\varepsilon_x=0,\ \varepsilon_y=0$
$\therefore\ \sigma_x=0,\ \sigma_y=0$
薄壁圆筒：壁厚 $\delta\le\frac{1}{10}r_0$（$r_0$:圆筒的平均半径）。
实验观察：
⑴ 圆周线的形状、间距、大小不变，但绕轴线发生相对转动
$\varepsilon_x=0,\ \varepsilon_y=0$
$\therefore\ \sigma_x=0,\ \sigma_y=0$
⑵ 各纵向线均倾斜同一角度 $\gamma$薄壁圆筒：壁厚 $\delta\le\frac{1}{10}r_0$（$r_0$:圆筒的平均半径）。
实验观察：
⑴ 圆周线的形状、间距、大小不变，但绕轴线发生相对转动
$\varepsilon_x=0,\ \varepsilon_y=0$
$\therefore\ \sigma_x=0,\ \sigma_y=0$
⑵ 各纵向线均倾斜同一角度 $\gamma$
⑶ 矩形方格变为平行四边形
§3-3 纯剪切
结论与切应力公式
结论：
结论：
(1) 横截面上无正应力 $\sigma$，只有切应力 $\tau$
结论：
(1) 横截面上无正应力 $\sigma$，只有切应力 $\tau$
(2) 切应力 $\tau$ 方向垂直半径（与圆周相切）
结论：
(1) 横截面上无正应力 $\sigma$，只有切应力 $\tau$
(2) 切应力 $\tau$ 方向垂直半径（与圆周相切）
(3) 近似认为 $\tau$ 沿壁厚均布
结论：
(1) 横截面上无正应力 $\sigma$，只有切应力 $\tau$
(2) 切应力 $\tau$ 方向垂直半径（与圆周相切）
(3) 近似认为 $\tau$ 沿壁厚均布
圆周各点处切应力的方向于圆周相切,且数值相等,近似的认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化。
§3-3 纯剪切
切应力公式
3、推导公式：
3、推导公式：
$\sum m_x=0$:
3、推导公式：
$\sum m_x=0$:
$\ T=A\cdot\tau\cdot r$
3、推导公式：
$\sum m_x=0$:
$\ T=A\cdot\tau\cdot r$
$A=2\pi r\delta$
3、推导公式：
$\sum m_x=0$:
$\ T=A\cdot\tau\cdot r$
$A=2\pi r\delta$
$\tau=\dfrac{T}{2\pi r^2\delta}$
薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布,与半径垂直,指向与扭矩的转向一致。
§3-3 纯剪切
二、剪应力互等定理
取单元体：$\sum M_z=0$
取单元体：$\sum M_z=0$
左右两侧面对 $z$ 轴的力偶矩：
取单元体：$\sum M_z=0$
左右两侧面对 $z$ 轴的力偶矩：
$(\tau\,\mathrm{d}y\,\delta)\,\mathrm{d}x$
取单元体：$\sum M_z=0$
左右两侧面对 $z$ 轴的力偶矩：
$(\tau\,\mathrm{d}y\,\delta)\,\mathrm{d}x$
上下两侧面：取单元体：$\sum M_z=0$
左右两侧面对 $z$ 轴的力偶矩：
$(\tau\,\mathrm{d}y\,\delta)\,\mathrm{d}x$
上下两侧面：
$(\tau'\delta\,\mathrm{d}x)\,\mathrm{d}y$
取单元体：$\sum M_z=0$
左右两侧面对 $z$ 轴的力偶矩：
$(\tau\,\mathrm{d}y\,\delta)\,\mathrm{d}x$
上下两侧面：
$(\tau'\delta\,\mathrm{d}x)\,\mathrm{d}y$
$\because$ 二者相等，得 $\tau'=\tau$
剪应力互等定理在相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在，数值相等；两者都垂直于两平面的交线，方向共同指向或共同背离这一交线。
§3-3 纯剪切
三、剪应变、剪切胡克定律
1、纯剪切：单元体的各个面上只有 $\tau$ 无 $\sigma$。
1、纯剪切：单元体的各个面上只有 $\tau$ 无 $\sigma$。
2、剪应变：$\gamma l=r\varphi\ \Longrightarrow\ \gamma=\dfrac{r\varphi}{l}$
1、纯剪切：单元体的各个面上只有 $\tau$ 无 $\sigma$。
2、剪应变：$\gamma l=r\varphi\ \Longrightarrow\ \gamma=\dfrac{r\varphi}{l}$
3、剪切胡克定律：当 $\tau\le\tau_P$ 时
1、纯剪切：单元体的各个面上只有 $\tau$ 无 $\sigma$。
2、剪应变：$\gamma l=r\varphi\ \Longrightarrow\ \gamma=\dfrac{r\varphi}{l}$
3、剪切胡克定律：当 $\tau\le\tau_P$ 时
$\tau=G\gamma$
1、纯剪切：单元体的各个面上只有 $\tau$ 无 $\sigma$。
2、剪应变：$\gamma l=r\varphi\ \Longrightarrow\ \gamma=\dfrac{r\varphi}{l}$
3、剪切胡克定律：当 $\tau\le\tau_P$ 时
各向同性材料三常数关系：
$\tau=G\gamma$
$G$——剪切弹性模量，单位 GPa；各向同性材料三常数关系：
1、纯剪切：单元体的各个面上只有 $\tau$ 无 $\sigma$。
2、剪应变：$\gamma l=r\varphi\ \Longrightarrow\ \gamma=\dfrac{r\varphi}{l}$
3、剪切胡克定律：当 $\tau\le\tau_P$ 时
各向同性材料三常数关系：
$\tau=G\gamma$
$G$——剪切弹性模量，单位 GPa；各向同性材料三常数关系：
$G=\dfrac{E}{2(1+\mu)}$
§3-3 纯剪切
四、剪切应变能
作功：$\mathrm{d}V_\varepsilon=\mathrm{d}W=\int_{0}^{\gamma_{1}} (\tau \mathrm{d}x \mathrm{d}y)(\mathrm{d}z \mathrm{d}\gamma)=\Big(\int_0^{\gamma_1}\tau\,\mathrm{d}\gamma\Big)\mathrm{d}V$
作功：$\mathrm{d}V_\varepsilon=\mathrm{d}W=\int_{0}^{\gamma_{1}} (\tau \mathrm{d}x \mathrm{d}y)(\mathrm{d}z \mathrm{d}\gamma)=\Big(\int_0^{\gamma_1}\tau\,\mathrm{d}\gamma\Big)\mathrm{d}V$
单元体的剪切变形比能：
作功：$\mathrm{d}V_\varepsilon=\mathrm{d}W=\int_{0}^{\gamma_{1}} (\tau \mathrm{d}x \mathrm{d}y)(\mathrm{d}z \mathrm{d}\gamma)=\Big(\int_0^{\gamma_1}\tau\,\mathrm{d}\gamma\Big)\mathrm{d}V$
单元体的剪切变形比能：
$v_\varepsilon=\dfrac{\mathrm{d}V_\varepsilon}{\mathrm{d}V}=\int_0^{\gamma_1}\tau\,\mathrm{d}\gamma$
作功：$\mathrm{d}V_\varepsilon=\mathrm{d}W=\int_{0}^{\gamma_{1}} (\tau \mathrm{d}x \mathrm{d}y)(\mathrm{d}z \mathrm{d}\gamma)=\Big(\int_0^{\gamma_1}\tau\,\mathrm{d}\gamma\Big)\mathrm{d}V$
单元体的剪切变形比能：
$v_\varepsilon=\dfrac{\mathrm{d}V_\varepsilon}{\mathrm{d}V}=\int_0^{\gamma_1}\tau\,\mathrm{d}\gamma$
当在弹性范围内时：作功：$\mathrm{d}V_\varepsilon=\mathrm{d}W=\int_{0}^{\gamma_{1}} (\tau \mathrm{d}x \mathrm{d}y)(\mathrm{d}z \mathrm{d}\gamma)=\Big(\int_0^{\gamma_1}\tau\,\mathrm{d}\gamma\Big)\mathrm{d}V$
单元体的剪切变形比能：
$v_\varepsilon=\dfrac{\mathrm{d}V_\varepsilon}{\mathrm{d}V}=\int_0^{\gamma_1}\tau\,\mathrm{d}\gamma$
当在弹性范围内时：$v_\varepsilon=\dfrac{1}{2}\tau\gamma=\dfrac{\tau^2}{2G}$
§3-4 圆轴扭转时的应力
一、变形几何关系——实验观察与平面假设
1、实验观察：
1、实验观察：
(1) 圆周线的形状、大小、间距不变，但绕轴线发生相对转动
1、实验观察：
(1) 圆周线的形状、大小、间距不变，但绕轴线发生相对转动
(2) 各纵向线均倾斜同一角度；小方格变为平行四边形
1、实验观察：
(1) 圆周线的形状、大小、间距不变，但绕轴线发生相对转动
(2) 各纵向线均倾斜同一角度；小方格变为平行四边形
2、平面假设：横截面在变形后仍保持为平面。
1、实验观察：
(1) 圆周线的形状、大小、间距不变，但绕轴线发生相对转动
(2) 各纵向线均倾斜同一角度；小方格变为平行四边形
2、平面假设：横截面在变形后仍保持为平面。
推论横截面只有 $\tau$，没有正应力 $\sigma$，且垂直于半径。
§3-4 圆轴扭转时的应力
3、几何关系
取微段：
取微段：
$\overline{ee'}=\rho\,\mathrm{d}\varphi=\gamma_\rho\,\mathrm{d}x$隐身内容（1）
取微段：
$\overline{ee'}=\rho\,\mathrm{d}\varphi=\gamma_\rho\,\mathrm{d}x$隐身内容（1）
$\gamma_\rho=\dfrac{\rho\,\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}$隐身内容11111111（2）
取微段：
$\overline{ee'}=\rho\,\mathrm{d}\varphi=\gamma_\rho\,\mathrm{d}x$隐身内容（1）
$\gamma_\rho=\dfrac{\rho\,\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}$隐身内容11111111（2）
材料、截面、外力确定时
取微段：
$\overline{ee'}=\rho\,\mathrm{d}\varphi=\gamma_\rho\,\mathrm{d}x$隐身内容（1）
$\gamma_\rho=\dfrac{\rho\,\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}$隐身内容11111111（2）
材料、截面、外力确定时
$\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}=C$（单位长度相对扭转角）
取微段：
$\overline{ee'}=\rho\,\mathrm{d}\varphi=\gamma_\rho\,\mathrm{d}x$隐身内容（1）
$\gamma_\rho=\dfrac{\rho\,\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}$隐身内容11111111（2）
材料、截面、外力确定时
$\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}=C$（单位长度相对扭转角）
$\therefore\ \gamma_\rho\propto\rho$
§3-4 圆轴扭转时的应力
二、物理关系
由剪切胡克定律：
由剪切胡克定律：
$\tau_\rho=G\gamma_\rho=G\rho\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}$隐身内容11（3）
由剪切胡克定律：
$\tau_\rho=G\gamma_\rho=G\rho\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}$隐身内容11（3）
横截面上的切应力：由剪切胡克定律：
$\tau_\rho=G\gamma_\rho=G\rho\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}$隐身内容11（3）
横截面上的切应力：
(1) 线性分布：$\rho=0$（圆心）时 $\tau_\rho=$0由剪切胡克定律：
$\tau_\rho=G\gamma_\rho=G\rho\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}$隐身内容11（3）
横截面上的切应力：
(1) 线性分布：$\rho=0$（圆心）时 $\tau_\rho=$0
隐身1111内容$\rho=R$（圆周）时 $\tau_\rho\to\tau_{\max}$由剪切胡克定律：
$\tau_\rho=G\gamma_\rho=G\rho\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}$隐身内容11（3）
横截面上的切应力：
(1) 线性分布：$\rho=0$（圆心）时 $\tau_\rho=$0
隐身1111内容$\rho=R$（圆周）时 $\tau_\rho\to\tau_{\max}$
(2) 垂直于半径
§3-4 圆轴扭转时的应力
三、静力关系
$T=\int_A\rho\cdot\tau_\rho\,\mathrm{d}A=G\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}\int_A\rho^2\,\mathrm{d}A$1（4）
$T=\int_A\rho\cdot\tau_\rho\,\mathrm{d}A=G\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}\int_A\rho^2\,\mathrm{d}A$1（4）
令 $I_p=\int_A\rho^2\,\mathrm{d}A$ （横截面对圆心的极惯性矩）
$T=\int_A\rho\cdot\tau_\rho\,\mathrm{d}A=G\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}\int_A\rho^2\,\mathrm{d}A$1（4）
令 $I_p=\int_A\rho^2\,\mathrm{d}A$ （横截面对圆心的极惯性矩）
得：$T = G \frac{d\varphi}{dx} I_p$隐 $\Rightarrow$$\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}=\dfrac{T}{GI_p}$，
$T=\int_A\rho\cdot\tau_\rho\,\mathrm{d}A=G\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}\int_A\rho^2\,\mathrm{d}A$1（4）
令 $I_p=\int_A\rho^2\,\mathrm{d}A$ （横截面对圆心的极惯性矩）
得：$T = G \frac{d\varphi}{dx} I_p$隐 $\Rightarrow$$\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}=\dfrac{T}{GI_p}$，
代入式（3）：
$\tau_\rho = G\rho \frac{d\varphi}{dx} = G\rho \frac{T}{GI_p}= \frac{T\rho}{I_p}$隐身1身身（5）
$T=\int_A\rho\cdot\tau_\rho\,\mathrm{d}A=G\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}\int_A\rho^2\,\mathrm{d}A$1（4）
令 $I_p=\int_A\rho^2\,\mathrm{d}A$ （横截面对圆心的极惯性矩）
得：$T = G \frac{d\varphi}{dx} I_p$隐 $\Rightarrow$$\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}=\dfrac{T}{GI_p}$，
代入式（3）：
$\tau_\rho = G\rho \frac{d\varphi}{dx} = G\rho \frac{T}{GI_p}= \frac{T\rho}{I_p}$隐身1身身（5）
切应力公式$\tau_\rho = \frac{T\rho}{I_p}$
§3-4 圆轴扭转时的应力
讨论与抗扭截面系数
$\tau_\rho = \dfrac{T\rho}{I_p}$
$\tau_\rho = \dfrac{T\rho}{I_p}$
讨论：$\tau_\rho = \dfrac{T\rho}{I_p}$
讨论：
⑴ 适用于等直圆杆（实心、空心）；$\tau_\rho = \dfrac{T\rho}{I_p}$
讨论：
⑴ 适用于等直圆杆（实心、空心）；
⑵ 对小锥度杆近似可用；$\tau_\rho = \dfrac{T\rho}{I_p}$
讨论：
⑴ 适用于等直圆杆（实心、空心）；
⑵ 对小锥度杆近似可用；
⑶ $\rho=R$ 时最大切应力 $\tau_{\max}=\dfrac{TR}{I_p}$$\tau_\rho = \dfrac{T\rho}{I_p}$
讨论：
⑴ 适用于等直圆杆（实心、空心）；
⑵ 对小锥度杆近似可用；
⑶ $\rho=R$ 时最大切应力 $\tau_{\max}=\dfrac{TR}{I_p}$
令 $W_t=\dfrac{I_p}{R}$——抗扭截面系数$\tau_\rho = \dfrac{T\rho}{I_p}$
讨论：
⑴ 适用于等直圆杆（实心、空心）；
⑵ 对小锥度杆近似可用；
⑶ $\rho=R$ 时最大切应力 $\tau_{\max}=\dfrac{TR}{I_p}$
令 $W_t=\dfrac{I_p}{R}$——抗扭截面系数$\tau_{\max}=\dfrac{T}{W_t}$
§3-4 圆轴扭转时的应力
四、常用截面的极惯性矩和抗扭截面系数
（1）实心圆截面
（1）实心圆截面
隐身内容$I_P=\dfrac{\pi d^4}{32}$
（1）实心圆截面
隐身内容$I_P=\dfrac{\pi d^4}{32}$
隐身内容$W_t=\dfrac{I_P}{d/2}=\dfrac{\pi d^3}{16}$
（1）实心圆截面
隐身内容$I_P=\dfrac{\pi d^4}{32}$
隐身内容$W_t=\dfrac{I_P}{d/2}=\dfrac{\pi d^3}{16}$
（2）空心圆截面（$\alpha=d/D$）
（1）实心圆截面
隐身内容$I_P=\dfrac{\pi d^4}{32}$
隐身内容$W_t=\dfrac{I_P}{d/2}=\dfrac{\pi d^3}{16}$
（2）空心圆截面（$\alpha=d/D$）
隐身内容$I_p=\dfrac{\pi D^4(1-\alpha^4)}{32}$
（1）实心圆截面
隐身内容$I_P=\dfrac{\pi d^4}{32}$
隐身内容$W_t=\dfrac{I_P}{d/2}=\dfrac{\pi d^3}{16}$
（2）空心圆截面（$\alpha=d/D$）
隐身内容$I_p=\dfrac{\pi D^4(1-\alpha^4)}{32}$
隐身内容$W_t=\dfrac{\pi D^3}{16}(1-\alpha^4)$
§3-4 圆轴扭转时的应力
五、强度条件
$\tau_{\max}=\dfrac{T_{\max}}{W_t}\le[\tau]$
$\tau_{\max}=\dfrac{T_{\max}}{W_t}\le[\tau]$
- 强度校核：$\dfrac{T_{\max}}{W_t}\le[\tau]$
$\tau_{\max}=\dfrac{T_{\max}}{W_t}\le[\tau]$
- 强度校核：$\dfrac{T_{\max}}{W_t}\le[\tau]$
- 设计截面：$W_t\ge\dfrac{T_{\max}}{[\tau]}$
$\tau_{\max}=\dfrac{T_{\max}}{W_t}\le[\tau]$
- 强度校核：$\dfrac{T_{\max}}{W_t}\le[\tau]$
- 设计截面：$W_t\ge\dfrac{T_{\max}}{[\tau]}$
- 许可载荷：$T_{\max}\le W_t[\tau]$
例3-2
阶梯圆轴 $d_1=120$ mm、$d_2=100$ mm，$M_A=22$、$M_B=36$、$M_C=14$ kN·m，$[\tau]=80$ MPa，校核强度
解：作轴的扭矩图：
解：作轴的扭矩图：
AB 段: 隐身内容$T_1=22\,\mathrm{kN\cdot m}$
解：作轴的扭矩图：
AB 段: 隐身内容$T_1=22\,\mathrm{kN\cdot m}$
BC 段:隐身内容 $T_2=-14\,\mathrm{kN\cdot m}$
解：作轴的扭矩图：
AB 段: 隐身内容$T_1=22\,\mathrm{kN\cdot m}$
BC 段:隐身内容 $T_2=-14\,\mathrm{kN\cdot m}$
AB 段：$\tau_{1\max}=\dfrac{T_1}{W_{t1}}=\dfrac{22\times10^6}{\pi\times120^3/16}=64.84\,\mathrm{MPa}$
解：作轴的扭矩图：
AB 段: 隐身内容$T_1=22\,\mathrm{kN\cdot m}$
BC 段:隐身内容 $T_2=-14\,\mathrm{kN\cdot m}$
AB 段：$\tau_{1\max}=\dfrac{T_1}{W_{t1}}=\dfrac{22\times10^6}{\pi\times120^3/16}=64.84\,\mathrm{MPa}$
BC 段：$\tau_{2\max}=\dfrac{T_2}{W_{t2}}=\dfrac{14\times10^6}{\pi\times100^3/16}=71.3\,\mathrm{MPa}$
$\tau_{\max}=71.3\,\mathrm{MPa}<[\tau]=80\,\mathrm{MPa}$ ∴该轴满足强度要求
例3-3
无缝钢管传动轴 $D=90$ mm、$t=2.5$ mm，$T_{\max}=1.5$ kN·m，$[\tau]=60$ MPa，校核扭转强度
解：
解：
$\alpha=\dfrac{d}{D}=\dfrac{90-2\times2.5}{90}=0.944$
解：
$\alpha=\dfrac{d}{D}=\dfrac{90-2\times2.5}{90}=0.944$$W_t=\dfrac{1}{16}\pi D^3(1-\alpha^4)=2.94\times10^{-5}\,\mathrm{m^3}$
解：
$\alpha=\dfrac{d}{D}=\dfrac{90-2\times2.5}{90}=0.944$$W_t=\dfrac{1}{16}\pi D^3(1-\alpha^4)=2.94\times10^{-5}\,\mathrm{m^3}$$\tau_{\max}=\dfrac{T}{W_t}=\dfrac{1.5\times10^3}{2.94\times10^{-5}}=51\,\mathrm{MPa}$
解：
$\alpha=\dfrac{d}{D}=\dfrac{90-2\times2.5}{90}=0.944$$W_t=\dfrac{1}{16}\pi D^3(1-\alpha^4)=2.94\times10^{-5}\,\mathrm{m^3}$$\tau_{\max}=\dfrac{T}{W_t}=\dfrac{1.5\times10^3}{2.94\times10^{-5}}=51\,\mathrm{MPa}$
$\tau_{\max}=51\,\mathrm{MPa}<[\tau]=60\,\mathrm{MPa}$ 满足强度
例3-3
改为等强度实心轴，求直径并比较重量
解：
解：
∵两者的强度相同，∴实心轴 $\tau_{\max}=51\,\mathrm{MPa}$
解：
∵两者的强度相同，∴实心轴 $\tau_{\max}=51\,\mathrm{MPa}$
$\tau_{\max}=\dfrac{T}{W_t}=\dfrac{1.5\times10^3}{\frac{1}{16}\pi D_1^3}=51\,\mathrm{MPa}$
解：
∵两者的强度相同，∴实心轴 $\tau_{\max}=51\,\mathrm{MPa}$
$\tau_{\max}=\dfrac{T}{W_t}=\dfrac{1.5\times10^3}{\frac{1}{16}\pi D_1^3}=51\,\mathrm{MPa}$
$D_1=0.0531\,\mathrm{m}$
解：
∵两者的强度相同，∴实心轴 $\tau_{\max}=51\,\mathrm{MPa}$
$\tau_{\max}=\dfrac{T}{W_t}=\dfrac{1.5\times10^3}{\frac{1}{16}\pi D_1^3}=51\,\mathrm{MPa}$
$D_1=0.0531\,\mathrm{m}$
重量比: $\dfrac{G_{空}}{G_{实}}=\dfrac{A_{空}}{A_{实}}=\dfrac{\pi(D^2-d^2)/4}{\pi D_1^2/4}=0.31$解：
∵两者的强度相同，∴实心轴 $\tau_{\max}=51\,\mathrm{MPa}$
$\tau_{\max}=\dfrac{T}{W_t}=\dfrac{1.5\times10^3}{\frac{1}{16}\pi D_1^3}=51\,\mathrm{MPa}$
$D_1=0.0531\,\mathrm{m}$
重量比: $\dfrac{G_{空}}{G_{实}}=\dfrac{A_{空}}{A_{实}}=\dfrac{\pi(D^2-d^2)/4}{\pi D_1^2/4}=0.31$
载荷、强度相同的情况下，空心轴重量轻，节省材料
§3-5 圆轴扭转时的变形
一、扭转变形
圆轴扭转时的变形是用相对扭转角 $\varphi$ 来度量。
圆轴扭转时的变形是用相对扭转角 $\varphi$ 来度量。
$\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}=\dfrac{T}{GI_p}$
圆轴扭转时的变形是用相对扭转角 $\varphi$ 来度量。
$\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}=\dfrac{T}{GI_p}$
其中，$\mathrm{d}\varphi$ 代表相距 $\mathrm{d}x$ 的两横截面间的相对扭转角圆轴扭转时的变形是用相对扭转角 $\varphi$ 来度量。
$\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}=\dfrac{T}{GI_p}$
其中，$\mathrm{d}\varphi$ 代表相距 $\mathrm{d}x$ 的两横截面间的相对扭转角
$\mathrm{d}\varphi=\dfrac{T}{GI_p}\mathrm{d}x$
圆轴扭转时的变形是用相对扭转角 $\varphi$ 来度量。
$\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}=\dfrac{T}{GI_p}$
其中，$\mathrm{d}\varphi$ 代表相距 $\mathrm{d}x$ 的两横截面间的相对扭转角
$\mathrm{d}\varphi=\dfrac{T}{GI_p}\mathrm{d}x$
长为 $l$ 的杆两端面间的相对扭转角：圆轴扭转时的变形是用相对扭转角 $\varphi$ 来度量。
$\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}=\dfrac{T}{GI_p}$
其中，$\mathrm{d}\varphi$ 代表相距 $\mathrm{d}x$ 的两横截面间的相对扭转角
$\mathrm{d}\varphi=\dfrac{T}{GI_p}\mathrm{d}x$
长为 $l$ 的杆两端面间的相对扭转角：
$\varphi=\int_l \mathrm{d}\varphi=\int_l\dfrac{T}{GI_p}\,\mathrm{d}x$
§3-5 圆轴扭转时的变形
$\varphi=\int_l \mathrm{d}\varphi=\int_l\dfrac{T}{GI_p}\,\mathrm{d}x$
$\varphi=\int_l \mathrm{d}\varphi=\int_l\dfrac{T}{GI_p}\,\mathrm{d}x$
讨论：$\varphi=\int_l \mathrm{d}\varphi=\int_l\dfrac{T}{GI_p}\,\mathrm{d}x$
讨论：
(1) 等直杆：$\varphi=\dfrac{Tl}{GI_p}$（单位 rad）隐1其中，$GI_p$ 称为圆轴的抗扭刚度
$\varphi=\int_l \mathrm{d}\varphi=\int_l\dfrac{T}{GI_p}\,\mathrm{d}x$
讨论：
(1) 等直杆：$\varphi=\dfrac{Tl}{GI_p}$（单位 rad）隐1其中，$GI_p$ 称为圆轴的抗扭刚度 (2) 阶梯轴：$\varphi=\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{T_il_i}{GI_{pi}}$
$\varphi=\int_l \mathrm{d}\varphi=\int_l\dfrac{T}{GI_p}\,\mathrm{d}x$
讨论：
(1) 等直杆：$\varphi=\dfrac{Tl}{GI_p}$（单位 rad）隐1其中，$GI_p$ 称为圆轴的抗扭刚度 (2) 阶梯轴：$\varphi=\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{T_il_i}{GI_{pi}}$ (3) 小锥度杆：$\varphi=\int_0^l\dfrac{T(x)}{GI_P(x)}\,\mathrm{d}x$
§3-5 圆轴扭转时的变形
2、单位长度扭转角
2、单位长度扭转角
$\varphi'=\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}=\dfrac{T}{GI_p}$（rad/m）
2、单位长度扭转角
$\varphi'=\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}=\dfrac{T}{GI_p}$（rad/m）
若 $T$ 为常量且截面不变：$\varphi'=\dfrac{T}{GI_p}=\dfrac{\varphi}{l}$ （rad/m）2、单位长度扭转角
$\varphi'=\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}=\dfrac{T}{GI_p}$（rad/m）
若 $T$ 为常量且截面不变：$\varphi'=\dfrac{T}{GI_p}=\dfrac{\varphi}{l}$ （rad/m）
3、刚度条件: 工程中常用$°/\mathrm{m}$作为单位2、单位长度扭转角
$\varphi'=\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}=\dfrac{T}{GI_p}$（rad/m）
若 $T$ 为常量且截面不变：$\varphi'=\dfrac{T}{GI_p}=\dfrac{\varphi}{l}$ （rad/m）
3、刚度条件: 工程中常用$°/\mathrm{m}$作为单位$\varphi'_{\max}=\dfrac{T_{\max}}{GI_p}\times\dfrac{180}{\pi}\le[\varphi']$ （$°/\mathrm{m}$）
2、单位长度扭转角
$\varphi'=\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}=\dfrac{T}{GI_p}$（rad/m）
若 $T$ 为常量且截面不变：$\varphi'=\dfrac{T}{GI_p}=\dfrac{\varphi}{l}$ （rad/m）
3、刚度条件: 工程中常用$°/\mathrm{m}$作为单位$\varphi'_{\max}=\dfrac{T_{\max}}{GI_p}\times\dfrac{180}{\pi}\le[\varphi']$ （$°/\mathrm{m}$）
隐身$[\varphi']$称为许可单位长度扭转角
例3-4
阶梯轴 $M_1=0.8$、$M_3=1.5$ kN·m，$d_1=70$ mm、$d_2=40$ mm，$G=80$ GPa，求 $\varphi_{AC}$
解：
解：
⑴ 作扭矩图：
解：
⑴ 作扭矩图：
AB 段 隐身$T_1=0.8\,\mathrm{kN\cdot m}$；
解：
⑴ 作扭矩图：
AB 段 隐身$T_1=0.8\,\mathrm{kN\cdot m}$；
BC 段 隐身$T_2=-1.5\,\mathrm{kN\cdot m}$
解：
⑴ 作扭矩图：
AB 段 隐身$T_1=0.8\,\mathrm{kN\cdot m}$；
BC 段 隐身$T_2=-1.5\,\mathrm{kN\cdot m}$
⑵ $I_{P1}=\dfrac{\pi d_1^4}{32}=2.36\times10^6\,\mathrm{mm^4}$
解：
⑴ 作扭矩图：
AB 段 隐身$T_1=0.8\,\mathrm{kN\cdot m}$；
BC 段 隐身$T_2=-1.5\,\mathrm{kN\cdot m}$
⑵ $I_{P1}=\dfrac{\pi d_1^4}{32}=2.36\times10^6\,\mathrm{mm^4}$
隐$I_{P2}=\dfrac{\pi d_2^4}{32}=2.51\times10^5\,\mathrm{mm^4}$
解：
⑴ 作扭矩图：
AB 段 隐身$T_1=0.8\,\mathrm{kN\cdot m}$；
BC 段 隐身$T_2=-1.5\,\mathrm{kN\cdot m}$
⑵ $I_{P1}=\dfrac{\pi d_1^4}{32}=2.36\times10^6\,\mathrm{mm^4}$
隐$I_{P2}=\dfrac{\pi d_2^4}{32}=2.51\times10^5\,\mathrm{mm^4}$
$\varphi_{AC}=\sum\dfrac{T_il_i}{GI_{Pi}}=-0.0713\,\mathrm{rad}$
例3-5
$[\tau]=90$ MPa，$G=80$ GPa，$M_e=12$ kN·m，$[\varphi']=2°/m$，按强度、刚度确定轴径
解：⑴ 强度条件
解：⑴ 强度条件
$T=M_e=12\,\mathrm{kN\cdot m}$
解：⑴ 强度条件
$T=M_e=12\,\mathrm{kN\cdot m}$$\tau_{\max}=\dfrac{T}{W_t}=\dfrac{16T}{\pi d^3}\le[\tau]\ $
解：⑴ 强度条件
$T=M_e=12\,\mathrm{kN\cdot m}$$\tau_{\max}=\dfrac{T}{W_t}=\dfrac{16T}{\pi d^3}\le[\tau]\ $$ d\ge\sqrt[3]{\dfrac{16\times12\times10^3}{\pi\times90\times10^6}}=81.3\,\mathrm{mm}$
⑵ 刚度条件
⑵ 刚度条件
$\varphi'_{\max}=\dfrac{T_{\max}}{GI_P}\times\dfrac{180}{\pi}\le[\varphi']$
⑵ 刚度条件
$\varphi'_{\max}=\dfrac{T_{\max}}{GI_P}\times\dfrac{180}{\pi}\le[\varphi']$$I_P=\dfrac{\pi d^4}{32}$
⑵ 刚度条件
$\varphi'_{\max}=\dfrac{T_{\max}}{GI_P}\times\dfrac{180}{\pi}\le[\varphi']$$I_P=\dfrac{\pi d^4}{32}$$d\ge\sqrt[4]{\dfrac{T_{\max}\times180\times32}{G[\varphi']\pi^2}}=87.9\,\mathrm{mm}$
综上取 $d\ge87.9\,\mathrm{mm}$（由刚度控制）
例3-6
传动轴 $n=500$ r/min，$P_A=368$、$P_B=147$、$P_C=221$ kW，$G=80$ GPa，$[\tau]=70$ MPa，$[\varphi']=1°/m$，设计轴径 $d$
解：1、计算外扭矩
解：1、计算外扭矩
$M_{eA}=9550\dfrac{368}{500}=7033\,\mathrm{N\cdot m}$
解：1、计算外扭矩
$M_{eA}=9550\dfrac{368}{500}=7033\,\mathrm{N\cdot m}$$M_{eB}=9550\dfrac{147}{500}=2808\,\mathrm{N\cdot m}$
解：1、计算外扭矩
$M_{eA}=9550\dfrac{368}{500}=7033\,\mathrm{N\cdot m}$$M_{eB}=9550\dfrac{147}{500}=2808\,\mathrm{N\cdot m}$$M_{eC}=9550\dfrac{221}{500}=4221\,\mathrm{N\cdot m}$
解：1、计算外扭矩
$M_{eA}=9550\dfrac{368}{500}=7033\,\mathrm{N\cdot m}$$M_{eB}=9550\dfrac{147}{500}=2808\,\mathrm{N\cdot m}$$M_{eC}=9550\dfrac{221}{500}=4221\,\mathrm{N\cdot m}$2、作扭矩图确定危险截面：
解：1、计算外扭矩
$M_{eA}=9550\dfrac{368}{500}=7033\,\mathrm{N\cdot m}$$M_{eB}=9550\dfrac{147}{500}=2808\,\mathrm{N\cdot m}$$M_{eC}=9550\dfrac{221}{500}=4221\,\mathrm{N\cdot m}$2、作扭矩图确定危险截面：
$|T|_{\max}=7033\,\mathrm{N\cdot m}$
例3-6
传动轴 $n=500$ r/min，$P_A=368$、$P_B=147$、$P_C=221$ kW，$G=80$ GPa，$[\tau]=70$ MPa，$[\varphi']=1°/m$，设计轴径 $d$
3、按强度条件：
3、按强度条件：
由$ \quad \tau_{\max} = \frac{|T|_{\max}}{W_p} \le [\tau]$
3、按强度条件：
由$ \quad \tau_{\max} = \frac{|T|_{\max}}{W_p} \le [\tau]$
隐身1$W_p = \frac{\pi d^3}{16}$
3、按强度条件：
由$ \quad \tau_{\max} = \frac{|T|_{\max}}{W_p} \le [\tau]$
隐身1$W_p = \frac{\pi d^3}{16}$
$d\ge\sqrt[3]{\dfrac{16|T|_{\max}}{\pi[\tau]}}=79.9\,\mathrm{mm}$
4、按刚度条件：
4、按刚度条件：
由$\quad \theta_{\max} = \frac{|T|_{\max}}{GI_p} \cdot \frac{180}{\pi} \le [\theta]$
4、按刚度条件：
由$\quad \theta_{\max} = \frac{|T|_{\max}}{GI_p} \cdot \frac{180}{\pi} \le [\theta]$
隐身1 $\quad I_p = \frac{\pi d^4}{32}$
4、按刚度条件：
由$\quad \theta_{\max} = \frac{|T|_{\max}}{GI_p} \cdot \frac{180}{\pi} \le [\theta]$
隐身1 $\quad I_p = \frac{\pi d^4}{32}$
$d\ge\sqrt[4]{\dfrac{32|T|_{\max}\times180}{G\pi^2[\varphi']}}=84.6\,\mathrm{mm}$
取 $d=84.6\,\mathrm{mm}$——此轴的直径由刚度条件控制
圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形
一、弹簧丝横截面上的应力
假设：
假设：
(1) 螺旋角 $\alpha<5°$ 时，近似认为簧丝横截面与弹簧轴线共面；#### 点击 1
(2) $D>10d$ 时，忽略簧丝曲率影响，近似用直杆公式计算。
1、内力计算：
1、内力计算：
$\sum Y=0,\ F_S=F$
1、内力计算：
$\sum Y=0,\ F_S=F$
$\sum M_o=0,\ T=F\dfrac{D}{2}$
圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形
一、弹簧丝横截面上的应力
2、应力计算：
2、应力计算：
$\tau_1=\dfrac{F_S}{A}=\dfrac{4F}{\pi d^2}$（直接剪切）
2、应力计算：
$\tau_1=\dfrac{F_S}{A}=\dfrac{4F}{\pi d^2}$（直接剪切）
$\tau_{2\max}=\dfrac{T}{W_t}=\dfrac{8FD}{\pi d^3}$（扭转）
2、应力计算：
$\tau_1=\dfrac{F_S}{A}=\dfrac{4F}{\pi d^2}$（直接剪切）
$\tau_{2\max}=\dfrac{T}{W_t}=\dfrac{8FD}{\pi d^3}$（扭转）
$A$ 点（弹簧内侧）总应力最大：
2、应力计算：
$\tau_1=\dfrac{F_S}{A}=\dfrac{4F}{\pi d^2}$（直接剪切）
$\tau_{2\max}=\dfrac{T}{W_t}=\dfrac{8FD}{\pi d^3}$（扭转）
$A$ 点（弹簧内侧）总应力最大：
$\tau_{\max}=\tau_{1}+\tau_{2max=}\dfrac{8FD}{\pi d^3}\Big(\dfrac{d}{2D}+1\Big)$
2、应力计算：
$\tau_1=\dfrac{F_S}{A}=\dfrac{4F}{\pi d^2}$（直接剪切）
$\tau_{2\max}=\dfrac{T}{W_t}=\dfrac{8FD}{\pi d^3}$（扭转）
$A$ 点（弹簧内侧）总应力最大：
$\tau_{\max}=\tau_{1}+\tau_{2max=}\dfrac{8FD}{\pi d^3}\Big(\dfrac{d}{2D}+1\Big)$当 $\dfrac{D}{d}\ge10$ 时 $\tau_{\max}\approx\dfrac{8FD}{\pi d^3}$
圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形
3、修正公式 4、强度条件
3、修正公式：
3、修正公式：
$\tau_{\max}=k\dfrac{8FD}{\pi d^3}$
3、修正公式：
$\tau_{\max}=k\dfrac{8FD}{\pi d^3}$$c=\dfrac{D}{d}$（弹簧指数），$k=\dfrac{4c-1}{4c-4}+\dfrac{0.615}{c}$（曲度系数）
3、修正公式：
$\tau_{\max}=k\dfrac{8FD}{\pi d^3}$$c=\dfrac{D}{d}$（弹簧指数），$k=\dfrac{4c-1}{4c-4}+\dfrac{0.615}{c}$（曲度系数）
修正原因：
3、修正公式：
$\tau_{\max}=k\dfrac{8FD}{\pi d^3}$$c=\dfrac{D}{d}$（弹簧指数），$k=\dfrac{4c-1}{4c-4}+\dfrac{0.615}{c}$（曲度系数）
修正原因：
(1) $D/d$ 较小时误差大
3、修正公式：
$\tau_{\max}=k\dfrac{8FD}{\pi d^3}$$c=\dfrac{D}{d}$（弹簧指数），$k=\dfrac{4c-1}{4c-4}+\dfrac{0.615}{c}$（曲度系数）
修正原因：
(1) $D/d$ 较小时误差大
(2) 假定剪切切应力均布。
3、修正公式：
$\tau_{\max}=k\dfrac{8FD}{\pi d^3}$$c=\dfrac{D}{d}$（弹簧指数），$k=\dfrac{4c-1}{4c-4}+\dfrac{0.615}{c}$（曲度系数）
修正原因：
(1) $D/d$ 较小时误差大
(2) 假定剪切切应力均布。
4、强度条件：$\tau_{\max}\le[\tau]$
圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形
二、弹簧的变形
外力功: $W=\dfrac{1}{2}F\lambda$
外力功: $W=\dfrac{1}{2}F\lambda$
变形能: $\tau_\rho = \frac{T\rho}{I_P} = \frac{16FD\rho}{\pi d^4}$
外力功: $W=\dfrac{1}{2}F\lambda$
变形能: $\tau_\rho = \frac{T\rho}{I_P} = \frac{16FD\rho}{\pi d^4}$
$\therefore v_\varepsilon = \frac{\tau_\rho^2}{2G} = \frac{128F^2D^2\rho^2}{G\pi^2 d^8}$
外力功: $W=\dfrac{1}{2}F\lambda$
变形能: $\tau_\rho = \frac{T\rho}{I_P} = \frac{16FD\rho}{\pi d^4}$
$\therefore v_\varepsilon = \frac{\tau_\rho^2}{2G} = \frac{128F^2D^2\rho^2}{G\pi^2 d^8}$$V=\int_Vv_\varepsilon\,\mathrm{d}V=\dfrac{4F^2D^3n}{Gd^4}$
外力功: $W=\dfrac{1}{2}F\lambda$
变形能: $\tau_\rho = \frac{T\rho}{I_P} = \frac{16FD\rho}{\pi d^4}$
$\therefore v_\varepsilon = \frac{\tau_\rho^2}{2G} = \frac{128F^2D^2\rho^2}{G\pi^2 d^8}$$V=\int_Vv_\varepsilon\,\mathrm{d}V=\dfrac{4F^2D^3n}{Gd^4}$由 $V=W$ 得
$\lambda=\dfrac{8FD^3n}{Gd^4}=\dfrac{64FR^3n}{Gd^4}$（$n$——有效圈数）
非圆截面杆扭转的概念
1、实验分析 ㈠圆截面杆与非圆截面杆的区别
1、实验分析：
1、实验分析：
矩形截面杆受扭后，表面横向网格线变成倾斜曲线
1、实验分析：
矩形截面杆受扭后，表面横向网格线变成倾斜曲线
横截面发生翘曲，不再保持平面。
1、实验分析：
矩形截面杆受扭后，表面横向网格线变成倾斜曲线
横截面发生翘曲，不再保持平面。
区别：
1、实验分析：
矩形截面杆受扭后，表面横向网格线变成倾斜曲线
横截面发生翘曲，不再保持平面。
区别：
- 圆截面杆：受扭后，横截面仍为平面
1、实验分析：
矩形截面杆受扭后，表面横向网格线变成倾斜曲线
横截面发生翘曲，不再保持平面。
区别：
- 圆截面杆：受扭后，横截面仍为平面
- 非圆截面杆：受扭后，横截面不再为平面，截面发生翘曲
薄壁杆件的自由扭转
开口与闭口
一、开口薄壁截面杆自由扭转时，厚度中点处切应力为零。
一、开口薄壁截面杆自由扭转时，厚度中点处切应力为零。
二、闭口薄壁截面杆自由扭转时，同一厚度处切应力均匀分布。
一、开口薄壁截面杆自由扭转时，厚度中点处切应力为零。
二、闭口薄壁截面杆自由扭转时，同一厚度处切应力均匀分布。
闭口薄壁截面：$T=\oint(\tau\delta\,\mathrm{d}s)\rho=2\tau\delta\varpi$
一、开口薄壁截面杆自由扭转时，厚度中点处切应力为零。
二、闭口薄壁截面杆自由扭转时，同一厚度处切应力均匀分布。
闭口薄壁截面：$T=\oint(\tau\delta\,\mathrm{d}s)\rho=2\tau\delta\varpi$
$\tau_{\max}=\dfrac{T}{2\delta_{\min}\varpi}$
（$\varpi$——厚度中线所包围面积）
一、开口薄壁截面杆自由扭转时，厚度中点处切应力为零。
二、闭口薄壁截面杆自由扭转时，同一厚度处切应力均匀分布。
闭口薄壁截面：$T=\oint(\tau\delta\,\mathrm{d}s)\rho=2\tau\delta\varpi$
$\tau_{\max}=\dfrac{T}{2\delta_{\min}\varpi}$
（$\varpi$——厚度中线所包围面积）
例12：椭圆形薄壁截面杆 $a=50$ mm、$b=75$ mm、$\delta=5$ mm，$T=5000\,\mathrm{N\cdot m}$，求 $\tau_{\max}$。
一、开口薄壁截面杆自由扭转时，厚度中点处切应力为零。
二、闭口薄壁截面杆自由扭转时，同一厚度处切应力均匀分布。
闭口薄壁截面：$T=\oint(\tau\delta\,\mathrm{d}s)\rho=2\tau\delta\varpi$
$\tau_{\max}=\dfrac{T}{2\delta_{\min}\varpi}$
（$\varpi$——厚度中线所包围面积）
例12：椭圆形薄壁截面杆 $a=50$ mm、$b=75$ mm、$\delta=5$ mm，$T=5000\,\mathrm{N\cdot m}$，求 $\tau_{\max}$。
$\tau_{\max}=\dfrac{T}{2\delta\pi ab}=42.5\,\mathrm{MPa}$
求扭矩的实用法则
任意横截面上的扭矩等于截面一侧所有外扭矩的代数和：
$T=\sum M_{ei}$（$M_{ei}$ 有正负号)
$T=\sum M_{ei}$（$M_{ei}$ 有正负号)
取左(右)段时，向左(右)的外扭矩矢量，在截面上产生正扭矩，反之产生负扭矩；代数和为正则扭矩为正，为负则扭矩为负。
利用实用法则求扭矩（以 §3-2 示例传动轴为例）
外力偶矩：$M_{eB}=M_{eC}=477.5\,\mathrm{N\cdot m}$
$M_{eA}=1592\,\mathrm{N\cdot m}$，$M_{eD}=637\,\mathrm{N\cdot m}$
外力偶矩：$M_{eB}=M_{eC}=477.5\,\mathrm{N\cdot m}$
$M_{eA}=1592\,\mathrm{N\cdot m}$，$M_{eD}=637\,\mathrm{N\cdot m}$
- 1-1 截面：
外力偶矩：$M_{eB}=M_{eC}=477.5\,\mathrm{N\cdot m}$
$M_{eA}=1592\,\mathrm{N\cdot m}$，$M_{eD}=637\,\mathrm{N\cdot m}$
- 1-1 截面：
$T_{1\text{-}1}=M_{eB}=477.5\,\mathrm{N\cdot m}$
外力偶矩：$M_{eB}=M_{eC}=477.5\,\mathrm{N\cdot m}$
$M_{eA}=1592\,\mathrm{N\cdot m}$，$M_{eD}=637\,\mathrm{N\cdot m}$
- 1-1 截面：
$T_{1\text{-}1}=M_{eB}=477.5\,\mathrm{N\cdot m}$
- 2-2 截面：
外力偶矩：$M_{eB}=M_{eC}=477.5\,\mathrm{N\cdot m}$
$M_{eA}=1592\,\mathrm{N\cdot m}$，$M_{eD}=637\,\mathrm{N\cdot m}$
- 1-1 截面：
$T_{1\text{-}1}=M_{eB}=477.5\,\mathrm{N\cdot m}$
- 2-2 截面：
$T_{2\text{-}2}=M_{eB}+M_{eC}=955\,\mathrm{N\cdot m}$
外力偶矩：$M_{eB}=M_{eC}=477.5\,\mathrm{N\cdot m}$
$M_{eA}=1592\,\mathrm{N\cdot m}$，$M_{eD}=637\,\mathrm{N\cdot m}$
- 1-1 截面：
$T_{1\text{-}1}=M_{eB}=477.5\,\mathrm{N\cdot m}$
- 2-2 截面：
$T_{2\text{-}2}=M_{eB}+M_{eC}=955\,\mathrm{N\cdot m}$
- 3-3 截面：
外力偶矩：$M_{eB}=M_{eC}=477.5\,\mathrm{N\cdot m}$
$M_{eA}=1592\,\mathrm{N\cdot m}$，$M_{eD}=637\,\mathrm{N\cdot m}$
- 1-1 截面：
$T_{1\text{-}1}=M_{eB}=477.5\,\mathrm{N\cdot m}$
- 2-2 截面：
$T_{2\text{-}2}=M_{eB}+M_{eC}=955\,\mathrm{N\cdot m}$
- 3-3 截面：
$T_{3\text{-}3}=M_{eD}=-637\,\mathrm{N\cdot m}$
本章结束
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