第二章
拉伸压缩剪切

工程力学 C

夏逸波低空技术学院
yiboxia@ujs.edu.cn

解：
1、求内力　
$\mathrm{I}$-$\mathrm{I}$截面：$F_{N1}=20\,\mathrm{kN}$；
$\mathrm{II}$-$\mathrm{II}$截面：$F_{N2}=-30\,\mathrm{kN}$ $d_1=20\,\mathrm{mm}$，$d_2=30\,\mathrm{mm}$
2、求应力
$\sigma_1=\dfrac{F_{N1}}{A_1}=\dfrac{20\times10^3\times4}{\pi\times20^2}=63.7\,\mathrm{MPa}$

解：
1、求内力　
$\mathrm{I}$-$\mathrm{I}$截面：$F_{N1}=20\,\mathrm{kN}$；
$\mathrm{II}$-$\mathrm{II}$截面：$F_{N2}=-30\,\mathrm{kN}$ $d_1=20\,\mathrm{mm}$，$d_2=30\,\mathrm{mm}$
2、求应力
$\sigma_1=\dfrac{F_{N1}}{A_1}=\dfrac{20\times10^3\times4}{\pi\times20^2}=63.7\,\mathrm{MPa}$$\sigma_2=\dfrac{F_{N2}}{A_2}=\dfrac{-30\times10^3\times4}{\pi\times30^2}=-42.4\,\mathrm{MPa}$

$\sigma_2=\dfrac{F_{N2}}

例2-4

吊车钢杆 AB 直径 $d=20$ mm，$Q=15$ kN，求 $Q$ 作用在 A 点时 $\sigma_{AB}$

解：1、求内力 $\sin\alpha=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\dfrac{0.8}{\sqrt{0.8^2+1.9^2}}=0.388$$\sum M_C=0\quad F_{AB}\sin\alpha\,\overline{AC}-Q\,\overline{AC}=0$

$F_{AB}=38.7\,\mathrm{kN}$，
对 AB 杆：$F_N=F_{AB}=38.7\,\mathrm{kN}$

2、求应力 $A=\dfrac{1}{4}\pi d^2=3.14\times10^{-4}\,\mathrm{m^2}$

$\sigma=\dfrac{F_N}{A}=\dfrac{38.7\times10^3}{3.14\times10^{-4}}=123\,\mathrm{MPa}$

§2-3 拉、压时斜截面上的应力

一、斜截面上的应力

以 $p_\alpha$ 表示斜截面 $k$-$k$ 上的应力，$A$ 为横截面面积：

$A_\alpha=\dfrac{A}{\cos\alpha},\quad F_\alpha=F$

$p_\alpha=\dfrac{F_\alpha}{A_\alpha}=\dfrac{F}{A}\cos\alpha=\sigma\cos\alpha$

沿法线和切线方向分解得：

$\sigma_\alpha=p_\alpha\cos\alpha=\sigma\cos^2\alpha$

$\tau_\alpha=p_\alpha\sin\alpha=\dfrac{\sigma}{2}\sin 2\alpha$

§2-3 拉、压时斜截面上的应力

二、符号的规定

(1)：$\alpha$ 角：

自 $x$ 转向 $n$，逆时针时$\alpha$为正

隐身内容内容顺时针时$\alpha$为负

(2)：正应力：

隐身内容内容拉伸为正

隐身内容内容压缩为负

(3)：切应力：对研究对象任一点取矩

隐身内容内容顺时针为正
隐身内容内容逆时针为负

§2-3 拉、压时斜截面上的应力

讨论

$\sigma_\alpha=\sigma\cos^2\alpha$$\tau_\alpha=\dfrac{\sigma}{2}\sin 2\alpha$

(1) 当 $\alpha=0°$：
$\sigma_\alpha=\sigma_{\max}=\sigma$，$\tau=0$

(2) 当 $\alpha=45°$：
$\sigma_\alpha=\dfrac{\sigma}{2}$，$\tau_\alpha=\tau_{\max}=\dfrac{\sigma}{2}$

(3) 当 $\alpha=-45°$：
$\sigma_\alpha=\dfrac{\sigma}{2}$，$\tau_\alpha=\tau_{\min}=-\dfrac{\sigma}{2}$

(4) 当 $\alpha=90°$：
$\sigma=0$，$\tau=0$

§2-4 材料在拉伸时的力学性能

1. 实验方法

材料力学性能材料在外力作用下，表现出的变形、破坏等方面的性能，又称机械性能。

试验条件：（1）常温；（2）静载（缓慢平稳加载）；（3）标准试件（GB 228-2002：圆形截面，$l=5d$ 或 $l=10d$）

低碳钢和灰铸铁是力学性能比较典型的常用工程材料。

2. 实验设备 （1）电子万能试验机（2）游标卡尺

§2-4 材料在拉伸时的力学性能

二、低碳钢拉伸时的力学性质

1. 试样

国家标准件,圆形截面,有两种:$l=5d$ 或 $l=10d$ 所有试件遵守国家标准《金属拉伸试验方法》（GB228-2002）

$l=5d$

$l=10d$

§2-4 材料在拉伸时的力学性能

2、拉伸图（F-Δl 曲线）

表示 $F$ 和 $\Delta l$ 关系的曲线，称为拉伸图。
材料的力学性能应与试样的几何尺寸无关

拉伸图与试样的尺寸有关，为了消除试样尺寸的影响，取：

$\sigma=\dfrac{F}{A}\qquad \varepsilon=\dfrac{\Delta l}{l}$

§2-4 应力应变图

（1）弹性阶段

隐身试样的变形完全弹性的. 此阶段内的直线段材料满足胡克定律：

$\sigma=E\varepsilon$

隐身试样的变形完全弹性的. 此阶段内的直线段材料满足胡克定律：

$\sigma=E\varepsilon$

$E-$弹性模量

$\sigma_p-$比例极限

$b$点是弹性阶段的最高点

$\sigma_e-$弹性极限

§2-4 应力应变图

（2）屈服阶段

隐身当应力超过b点后，试样的荷载基本不变而变形却急剧增加，这种现象称为屈服

$c$点是屈服极限

$\sigma_s-$屈服极限

滑移线现象

§2-4 应力应变图

（3）强化阶段

隐身过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它继续变形必须增加拉力.这种现象称为材料的强化

隐身过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它继续变形必须增加拉力.这种现象称为材料的强化
$e$点是强化阶段的最高点
$\sigma_b-$强度极限

§2-4 应力应变图

（4）局部变形阶段

隐身过$e$点后，试样在某一段内的横截面面积显箸地收缩，出现颈缩现象，一直到试样被拉断。

§2-4 材料在拉伸时的力学性能

4、伸长率和断面收缩率

伸长率　$\delta=\dfrac{l_1-l}{l}\times 100\%$

断面收缩率　$\psi=\dfrac{A-A_1}{A}\times 100\%$

$\delta \ge 5\%$ 的材料，称作塑性材料；
$\delta < 5\%$ 的材料，称作脆性材料
低碳钢：$\delta = 20\sim30\%$

$\psi=\dfrac{A-A_1}{A}\times 100\%$
低碳钢：$\psi = 60\sim70\%$

§2-4 材料在拉伸时的力学性能

5、卸载定律

a. 卸载定律：若加载到强化阶段的某一点 $d$ 停止加载并逐渐卸载，在卸载过程中，荷载与试样伸长量之间遵循线性关系的规律，称为材料的卸载定律。

$\sigma_{卸}=E\varepsilon_{卸}$

§2-4 材料在拉伸时的力学性能

6、冷作硬化

b. 冷作硬化：在常温下把材料预拉到强化阶段然后卸载，当再次加载时，试样在线弹性范围内所能承受的最大荷载将增大，这种现象称为冷作硬化。 $\varepsilon=\varepsilon_e+\varepsilon_p$（$\varepsilon_e$ 弹性应变，$\varepsilon_p$ 塑性应变）使材料的比例极限提高，塑性变形减小。

冷作硬化的应用　　隐身内缺点：脆性增大

§2-4 材料在拉伸时的力学性能

三、其它塑性材料

特点：为塑性材料

名义屈服应力用$\sigma_{0.2}$表示。

§2-4 材料在拉伸时的力学性能

四、铸铁拉伸

1、$\sigma_b$——拉伸强度极限，它是衡量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标。 2、应力应变不成比例，无屈服、颈缩现象，变形很小且 $\sigma_b$ 很低。

$E=\tan\alpha$（割线斜率）

§2-5 材料在压缩时的力学性能

一、低碳钢压缩时的力学性能

隐身在屈服阶段前，图形与拉伸时相同，即$E、μ、σ_s、σ_P$基本相同。

隐身在屈服阶段前，图形与拉伸时相同，即$E、μ、σ_s、σ_P$基本相同。
隐身屈服阶段后,试样越压越扁,试样不可能被压断,因此压缩时无强度极限。

§2-5 材料在压缩时的力学性能

二、铸铁压缩时的力学性能

隐身铸铁压缩时破坏端面与横截面大致成45° ~ 55°倾角,表明这类试样主要因剪切而破坏。

隐身铸铁压缩时破坏端面与横截面大致成45° ~ 55°倾角,表明这类试样主要因剪切而破坏。
隐身铸铁的抗压强度极限是抗拉强度极限的4 ~ 5倍。

§2-7 失效、安全因数和强度计算

一、失效的概念

失效构件不能正常工作的现象。

失效的形式： 1. 脆性断裂

隐身内容11112. 塑性屈服

隐身内容11113. 压杆失稳

拉压构件材料的失效判据：

塑性材料　$\sigma_{\max}=\sigma_s$ ；
脆性材料拉　$\sigma_{\max}=\sigma_{b拉}$ ；
脆性材料压　$\sigma_{\max}=\sigma_{b压}$

极限应力材料的两个强度指标 $\sigma_s$ (材料的屈服极限)和 $\sigma_b$ (材料的强度极限)，又称危险应力，用 $\sigma_u$ 表示。

§2-7 失效、安全因数和强度计算

二、许用应力　三、安全因数

许用应力保证材料安全工作的最大应力值。

$[\sigma]=\dfrac{\sigma_u}{n}$（$n>1$，$n$——安全因数）

塑性材料：$[\sigma]=\dfrac{\sigma_s}{n_s}$；脆性材料：$[\sigma_t]=\dfrac{\sigma_b}{n_b}$ 或 $[\sigma_c]=\dfrac{\sigma_{bc}}{n_b}$

安全因数$n$：保证材料安全工作的安全储备，根据材料的性能与工程等级等因素而定：材料素质、载荷情况、简化与计算方法的精确程度、零件重要性、工作环境。一般静载：塑性材料 $n_s=1.2\sim2.5$；脆性材料 $n_b=2.0\sim3.5$

§2-7 失效、安全因数和强度计算

四、强度条件

杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力：
计算公式:

$\sigma_{\max}=\dfrac{F_{N\max}}{A}\le[\sigma]$

强度条件的三类应用：

(1) 强度校核：已知 $[\sigma]$、$F_N$ 和 $A$, 校核实际的 $\sigma_{\max}=\dfrac{F_{N\max}}{A}\le[\sigma]$
(2) 设计截面：已知 $[\sigma]$、$F_N$，求解 $A\ge\dfrac{F_{N\max}}{[\sigma]}$
(3) 确定许用载荷：$[\sigma]$、$A$，求解 $[F_N]=A[\sigma]$

例2-5

吊车钢杆 AB，$d=20$ mm，$Q=15$ kN，$[\sigma]=150$ MPa，校核杆 AB 强度

解：1、求内力 $\sin\alpha=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\dfrac{0.8}{\sqrt{0.8^2+1.9^2}}=0.388$$\sum M_C=0\quad F_{AB}\sin\alpha\,\overline{AC}-Q\,\overline{AC}=0$

$F_{AB}=38.7\,\mathrm{kN}$，
对 AB 杆：$F_N=F_{AB}=38.7\,\mathrm{kN}$

2、求应力 $A=\dfrac{1}{4}\pi d^2=3.14\times10^{-4}\,\mathrm{m^2}$

$\sigma=\dfrac{F_N}{A}=\dfrac{38.7\times10^3}{3.14\times10^{-4}}=123\,\mathrm{MPa}$

3.强度校核$\sigma=123\,\mathrm{MPa}\le[\sigma]=150\,\mathrm{MPa}$，满足强度条件

例2-6

冷镦机曲柄滑块机构，$h=1.4b$，$[\sigma]=58$ MPa，$F=1100$ kN，确定连杆矩形截面尺寸

解：1、求轴力　$F_N=F=1100\,\mathrm{kN}$

2、求截面积 $A\ge\dfrac{F_N}{[\sigma]}=\dfrac{1100\times10^3}{58\times10^6}=19\times10^3\,\mathrm{mm^2}$

3、确定截面尺寸 $A=hb=1.4b^2\ge19\times10^3\,\mathrm{mm^2}$

$b\ge116\,\mathrm{mm}$，$h=1.4b\ge162\,\mathrm{mm}$

例2-7

简易起重设备，AC 杆 $2\times80\times80\times7$ 角钢，AB 杆 $2\times10$ 号工字钢，$[\sigma]=170$ MPa，求 $[F]$

解：(1) 取结点 A 为研究对象 $\sum F_y=0,\ F_{N1}\sin30°-F=0 $
隐身内容$\Rightarrow F_{N1}=2F$；
$\sum F_x=0,\ F_{N2}-F_{N1}\cos30°=0 $
隐身内容$\Rightarrow F_{N2}=1.732F$

(2) 由型钢表查得 $A_1=1086\times2=2172\,\mathrm{mm^2}$，$A_2=1430\times2=2860\,\mathrm{mm^2}$

例2-7

教材附录查表

例2-7

教材附录查表

例2-7

简易起重设备，AC 杆 $2\times80\times80\times7$ 角钢，AB 杆 $2\times10$ 号工字钢，$[\sigma]=170$ MPa，求 $[F]$

(3) 各杆的轴力以及许可荷载： $[F_{N1}]=[\sigma]A_1=369.24\,\mathrm{kN}$，$[F_{N2}]=[\sigma]A_2=486.20\,\mathrm{kN}$$F_1=\dfrac{[F_{N1}]}{2}=184.6\,\mathrm{kN}$，$F_2=\dfrac{[F_{N2}]}{1.732}=280.7\,\mathrm{kN}$

(4) 结论

$[F]=\min\{[F]_1,[F]_2\}=184.6\,\mathrm{kN}$

例2-8

刚性杆 ACB 由圆杆 CD 悬挂，$F=25$ kN，$d=20$ mm，$[\sigma]=160$ MPa，校核 CD 杆并求 $[F]$ 与 $F=50$ kN 时的 $CD$杆直径

解：(1) 求 CD 杆的内力 $\sum M_A=0,\quad F_{NCD}=\dfrac{3}{2}F$$\sigma=\dfrac{F_{NCD}}{A}=\dfrac{3F/2}{\pi d^2/4}=119\,\mathrm{MPa}<[\sigma]$

满足强度条件!

例2-8

刚性杆 ACB 由圆杆 CD 悬挂，$F=25$ kN，$d=20$ mm，$[\sigma]=160$ MPa，校核 CD 杆并求 $[F]$ 与 $F=50$ kN 时的 $CD$杆直径

(2) 结构的许可荷载由隐身内容$\sigma_{CD}=\dfrac{F_{NCD}}{A}\le[\sigma]$
隐身内1容$F_{NCD}=\dfrac{3F}{2}\le[\sigma]A $
隐身111内容$[F]=33.5\,\mathrm{kN}$

(3) 若 $F=50\,\mathrm{kN}$，设计 CD 杆的直径隐身1容$A = \dfrac{\pi d^2}{4}\ge\dfrac{F_{NCD}}{[\sigma]}=\dfrac{3F/2}{[\sigma]}$

解得$d=25\,\mathrm{mm}$

§2-8 轴向拉伸或压缩时变形

一、纵向变形　3、胡克定律

纵向变形轴线尺寸的伸长或缩短。

横向变形横向尺寸的伸长或缩短。

纵向变形 $\Delta l=l_1-l$

纵向应变 $\varepsilon=\dfrac{\Delta l}{l}$

$\varepsilon$无量纲，拉为正，压为负

§2-8 轴向拉伸或压缩时变形

一、纵向变形　3、胡克定律

3、胡克定律：实验表明，大多数材料都有一个弹性阶段，在此弹性范围内，正应力与线应变成正比。当 $\sigma\le\sigma_P$ 时：由 $\sigma=E\varepsilon$、$\varepsilon=\dfrac{\Delta l}{l}$、$\sigma=\dfrac{F_N}{A}$ 得

$\sigma = E \cdot \varepsilon \quad \Longrightarrow \quad \dfrac{F_N}{A} = \dfrac{E \cdot \Delta l}{l} \Longrightarrow \Delta l=\dfrac{F_N l}{EA}$

胡克定律$\Delta l=\dfrac{F_N l}{EA}$

式中 $E$ 称为弹性模量，$EA$ 称为抗拉（压）刚度，反映了杆件抵抗变形的能力。$EA$ 越大，$\Delta l$ 越小。

讨论⑴ 适用范围：$\sigma\le\sigma_P$；⑵ 对阶梯轴：$\Delta l=\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{F_{Ni}l_i}{EA_i}$

§2-8 轴向拉伸或压缩时变形

二、横向变形　泊松比

1. 横向变形
隐身内容$\Delta b=b_1-b$；

2. 横向应变
隐身内容$\varepsilon'=\dfrac{b_1-b}{b}=\dfrac{\Delta b}{b}$

3. 泊松比隐身内容$\mu=\left|\dfrac{\varepsilon'}{\varepsilon}\right|$，
1内容即 $\varepsilon'=-\mu\varepsilon$。

$\mu$ 称为横向变形系数或泊松比。是个没有量纲的量，与材料有关，由试验测定，一般 $\mu=0\sim0.5$。

例2-9

变截面圆杆，$F_1=30$ kN，$F_2=10$ kN，$l_1=l_2=l_3=100$ mm，$A_1=500$ mm²，$A_2=200$ mm²，$E=200$ GPa，求杆的总伸长

解：1、求内力　
AB 段：$\sum F_x=0$，$F_{N1}=20\,\mathrm{kN}$；BD 段：$\sum F_x=0$，$F_{N2}=-10\,\mathrm{kN}$
2、轴力图（见右图）

例2-9

变截面圆杆，$F_1=30$ kN，$F_2=10$ kN，$l_1=l_2=l_3=100$ mm，$A_1=500$ mm²，$A_2=200$ mm²，$E=200$ GPa，求杆的总伸长

(3) 各段变形 $\Delta l_{AB}=\dfrac{F_{N1}l_1}{EA_1}=0.02\,\mathrm{mm}$，$\Delta l_{BC}=\dfrac{F_{N2}l_2}{EA_1}=-0.01\,\mathrm{mm}$，$\Delta l_{CD}=\dfrac{F_{N2}l_3}{EA_2}=-0.025\,\mathrm{mm}$

(4) 杆的总伸长

$\Delta l_{AD}=\Delta l_{AB}+\Delta l_{BC}+\Delta l_{CD}=-0.015\,\mathrm{mm}$

例2-10

三角架 $E=200$ GPa，$A_1=2172$ mm²，$A_2=2548$ mm²，$F=130$ kN，求节点 A 的位移

解：(1) 由平衡方程得两杆的轴力隐身内容$\sum F_y=0,\ F_{N1}=2F$；
隐身内容$\sum F_x=0,\ F_{N2}=1.732F$
$AB$ 杆受拉，$AC$ 杆受压

(2) 两杆的变形 $AA_1=\Delta l_1=\dfrac{F_{N1}l_1}{EA_1}=1.198\,\mathrm{mm}$，$AA_2=\Delta l_2=\dfrac{F_{N2}l_2}{EA_2}=0.765\,\mathrm{mm}$

例2-10

三角架 $E=200$ GPa，$A_1=2172$ mm²，$A_2=2548$ mm²，$F=130$ kN，求节点 A 的位移

(3) 位移图解（以切线代圆弧）：隐身$AA_3$ 为所求 A 点的位移: $A_2A' = A_2A + AA' = \Delta l_2 + \dfrac{\Delta l_1}{\cos 30^\circ}$$A_2A_3=\dfrac{\Delta l_2}{\tan30°}+\dfrac{\Delta l_1}{\sin30°}$$AA_3=\sqrt{(AA_2)^2+(A_2A_3)^2}=3.78\,\mathrm{mm}$

§2-9 轴向拉伸、压缩的应变能

一、变形能

一、轴向拉压的变形能：元功隐身11$\mathrm{d}W=F\,\mathrm{d}(\Delta l)$ 总功隐身11$W=\int_0^{\Delta l_1}F\,\mathrm{d}(\Delta l)$ 当 $\sigma\le\sigma_P$，忽略其它损耗，变形能为：隐身内容1$V_\varepsilon=W=\dfrac{1}{2}F\Delta l$ 由胡克定律 $\Delta l=\dfrac{F_N l}{EA}$, 代入上式得：

$V_\varepsilon=\dfrac{F^2 l}{2EA}$

§2-9 轴向拉伸、压缩的应变能

二、变形比能

取单元体：受力：$\sigma d x dy$, 边长伸长$\varepsilon dz$ 有增量 $d\sigma$时, $dz$边的伸长增量为$d\varepsilon dz$ 做功： $\mathrm{d}V_\varepsilon=\int_{0}^{\varepsilon_{1}} (\sigma \mathrm{d}x \mathrm{d}y)(\mathrm{d}z \mathrm{d}\varepsilon)=\Big(\int_0^{\varepsilon_1}\sigma\,\mathrm{d}\varepsilon\Big)\mathrm{d}V$

取单元体：受力：$\sigma d x dy$, 边长伸长$\varepsilon dz$ 有增量 $d\sigma$时, $dz$边的伸长增量为$d\varepsilon dz$ 做功： $\mathrm{d}V_\varepsilon=\int_{0}^{\varepsilon_{1}} (\sigma \mathrm{d}x \mathrm{d}y)(\mathrm{d}z \mathrm{d}\varepsilon)=\Big(\int_0^{\varepsilon_1}\sigma\,\mathrm{d}\varepsilon\Big)\mathrm{d}V$单元体变形比能：

$v_\varepsilon=\dfrac{\mathrm{d}V_\varepsilon}{\mathrm{d}V}=\int_0^{\varepsilon_1}\sigma\,\mathrm{d}\varepsilon$

弹性范围内 $v_\varepsilon=\frac{1}{2}\sigma\varepsilon$，单位：J/m³

§2-10 拉伸、压缩超静定问题

一、静定与超静定

静定问题隐杆件的轴力可以用静力平衡条件求出。

超静定问题只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力。

隐超静定问题——未知力数多于平衡方程数 超静定次数——未知力数减平衡方程数

§2-10 拉伸、压缩超静定问题

二、求解方法

1. 超静定的次数：

$n=$未知力的个数$-$独立平衡方程数目

2. 求解超静定问题的步骤： 隐身(1) 列出平衡方程隐身(2) 根据变形几何关系，建立变形协调方程隐身(3) 列出物理方程（胡克定律）隐身(4) 联立即得补充方程隐身(5) 联立求解

例2-11

如图所示，$l_1=l_2=l$，$A_1=A_2=A$，$E_1=E_2=E$，3 杆 $l_3$、$A_3$、$E_3$，求各杆轴力

解：(1) 列平衡方程隐身内容$\sum X=0$

$$\ F_{N1}\sin\alpha-F_{N2}\sin\alpha=0$$(1)

隐身内容$\sum Y=0$

$$F_{N2}\cos\alpha+F_{N1}\cos\alpha+F_{N3}-F=0$$(2)

这是一次超静定问题!

例2-11

如图所示，$l_1=l_2=l$，$A_1=A_2=A$，$E_1=E_2=E$，3 杆 $l_3$、$A_3$、$E_3$，求各杆轴力

(2) 几何方程　$\Delta l_3\cos\alpha=\Delta l_1=\Delta l_2$隐身（3）

(2) 几何方程　$\Delta l_3\cos\alpha=\Delta l_1=\Delta l_2$隐身（3） (3) 物理方程 $\Delta l_1=\dfrac{F_{N1}l_1}{E_1A_1}$，$\Delta l_3=\dfrac{F_{N3}l_3}{E_3A_3}$隐身内容111（4）

(2) 几何方程　$\Delta l_3\cos\alpha=\Delta l_1=\Delta l_2$隐身（3） (3) 物理方程 $\Delta l_1=\dfrac{F_{N1}l_1}{E_1A_1}$，$\Delta l_3=\dfrac{F_{N3}l_3}{E_3A_3}$隐身内容111（4） (4) 补充方程 $\dfrac{F_{N3}l}{E_3A_3}\cos\alpha=\dfrac{F_{N1}l}{E_1A_1\cos\alpha}$隐身内容11111（5）

(5) 联立求解

$F_{N1}=F_{N2}=\dfrac{F\cos^2\alpha}{2\cos^3\alpha+\frac{E_3A_3}{E_1A_1}}$，$F_{N3}=\dfrac{F}{1+2\frac{E_1A_1}{E_3A_3}\cos^3\alpha}$

例2-12

求等直杆 AB 上、下端的约束力（拉压刚度 EA）

解：1. 平衡方程 $\sum Y=0,\ F_A+F_B-F=0$

解：1. 平衡方程 $\sum Y=0,\ F_A+F_B-F=0$2. 几何方程 $\Delta l_{AC}+\Delta l_{BC}=0$（$l=a+b$）

解：1. 平衡方程 $\sum Y=0,\ F_A+F_B-F=0$2. 几何方程 $\Delta l_{AC}+\Delta l_{BC}=0$（$l=a+b$） 3. 物理方程 $\Delta l_{AC}=\dfrac{F_Aa}{EA}$，$\Delta l_{BC}=-\dfrac{F_Bb}{EA}$

解：1. 平衡方程 $\sum Y=0,\ F_A+F_B-F=0$2. 几何方程 $\Delta l_{AC}+\Delta l_{BC}=0$（$l=a+b$） 3. 物理方程 $\Delta l_{AC}=\dfrac{F_Aa}{EA}$，$\Delta l_{BC}=-\dfrac{F_Bb}{EA}$ 4. 补充方程 $\dfrac{F_Aa}{EA}-\dfrac{F_Bb}{EA}=0$

解：1. 平衡方程 $\sum Y=0,\ F_A+F_B-F=0$2. 几何方程 $\Delta l_{AC}+\Delta l_{BC}=0$（$l=a+b$） 3. 物理方程 $\Delta l_{AC}=\dfrac{F_Aa}{EA}$，$\Delta l_{BC}=-\dfrac{F_Bb}{EA}$ 4. 补充方程 $\dfrac{F_Aa}{EA}-\dfrac{F_Bb}{EA}=0$5. 联立求解

$F_A=\dfrac{b}{l}F$，$F_B=\dfrac{a}{l}F$

§2-11 温度应力和装配应力

一、温度应力

温度应力和装配应力是超静定结构所特有的。

温度应力和装配应力是超静定结构所特有的。静定结构中，当温度变化时，杆内没有应力

温度应力和装配应力是超静定结构所特有的。静定结构中，当温度变化时，杆内没有应力静不定结构中，温度变化将引起应力。

温度应力和装配应力是超静定结构所特有的。静定结构中，当温度变化时，杆内没有应力静不定结构中，温度变化将引起应力。温度变化引起的杆件伸长为：

$\Delta l_T=\alpha\Delta T\,l$

温度应力例题

锅炉管道（两端支承），已知 $EA$、线膨胀系数 $\alpha(1/^\circ C)$，求温升 $\Delta T$ 时 A、B 处的约束反力

解：1. 平衡方程隐身$\sum X=0,\ F_A-F_B=0$

解：1. 平衡方程隐身$\sum X=0,\ F_A-F_B=0$ 2. 变形协调关系隐身$\Delta l_T=\Delta l_F$

解：1. 平衡方程隐身$\sum X=0,\ F_A-F_B=0$ 2. 变形协调关系隐身$\Delta l_T=\Delta l_F$ 3. 物理方程隐身$\Delta l_T=\alpha\Delta T l$，$\Delta l_F=\dfrac{F_Bl}{EA}$

解：1. 平衡方程隐身$\sum X=0,\ F_A-F_B=0$ 2. 变形协调关系隐身$\Delta l_T=\Delta l_F$ 3. 物理方程隐身$\Delta l_T=\alpha\Delta T l$，$\Delta l_F=\dfrac{F_Bl}{EA}$ 4. 补充方程联立得

$F_B=EA\alpha\Delta T$
$\sigma_T=\dfrac{F_B}{A}=\alpha E\Delta T$

§2-11 温度应力和装配应力

二、装配应力

若 3 杆尺寸有微小误差 $\delta$，强行装配后：3 杆产生拉力，1、2 杆产生压力。这种附加内力称为装配内力，对应应力称为装配应力。

(1) 平衡方程

(1) 平衡方程 $\sum X=0,\ F_{N1}\sin\alpha-F_{N2}\sin\alpha=0$；$\sum Y=0,\ F_{N3}-F_{N1}\cos\alpha-F_{N2}\cos\alpha=0$

§2-11 温度应力和装配应力

二、装配应力

$\Delta l_3$ 代表杆3的伸长 $\Delta l_1$ 代表杆1或者杆2的伸长 $\Delta l$ 1代表杆1或者杆2的伸长

$\Delta l_3$ 代表杆3的伸长 $\Delta l_1$ 代表杆1或者杆2的伸长 $\Delta l$ 1代表杆1或者杆2的伸长 (2) 变形几何方程：

$\Delta l_3$ 代表杆3的伸长 $\Delta l_1$ 代表杆1或者杆2的伸长 $\Delta l$ 1代表杆1或者杆2的伸长 (2) 变形几何方程： $\Delta l_3+\Delta l=\delta$，$\Delta l=\dfrac{\Delta l_1}{\cos\alpha}$ (3) 物理方程： $\Delta l_1=\dfrac{F_{N1}l/_{\cos\alpha}}{E_1A_1}$，$\Delta l_3=\dfrac{F_{N3}l}{E_3A_3}$

(4) 补充方程：$\dfrac{F_{N3}l}{E_3A_3}+\dfrac{F_{N1}l}{E_1A_1\cos^2\alpha}=\delta$，联立解出 $F_{N1}$、$F_{N2}$、$F_{N3}$

§2-12 应力集中

一、概念

应力集中因杆件外形突然变化而引起局部应力急剧增大的现象。

§2-12 应力集中的概念

二、应力集中系数

应力集中系数：最大局部应力 $\sigma_{\max}$ 与其所在截面上平均应力 $\sigma$ 的比值

$k=\dfrac{\sigma_{\max}}{\sigma}$

应力集中系数：最大局部应力 $\sigma_{\max}$ 与其所在截面上平均应力 $\sigma$ 的比值

$k=\dfrac{\sigma_{\max}}{\sigma}$

显然 $k>1$，反映了应力集中的程度。

应力集中系数：最大局部应力 $\sigma_{\max}$ 与其所在截面上平均应力 $\sigma$ 的比值

$k=\dfrac{\sigma_{\max}}{\sigma}$

显然 $k>1$，反映了应力集中的程度。 $\sigma_{\max}$ : 发生应力集中的截面上的最大应力

应力集中系数：最大局部应力 $\sigma_{\max}$ 与其所在截面上平均应力 $\sigma$ 的比值

$k=\dfrac{\sigma_{\max}}{\sigma}$

显然 $k>1$，反映了应力集中的程度。 $\sigma_{\max}$ : 发生应力集中的截面上的最大应力 $\sigma$ : 同一截面上按净面积算出的平均应力

§2-12 应力集中的概念

三、工程实例

阶梯轴的倒角工艺

包装袋上锯齿状的易撕设计

§2-12 应力集中的概念

思考：为什么要这么设计？

汽车停车棚的挖孔设计

停车棚钢梁弯曲时的应力分布

对于焊接材料，挖孔能减小钢梁弯曲时纤维间的挤压，进而释放应力

§2-13 剪切和挤压实用计算

一、基本概念和实例

(1) 螺栓连接

(2) 铆钉连接

(3) 销轴连接

§2-13 剪切和挤压实用计算

(4) 键块连接

§2-13 剪切和挤压实用计算

连接处的破坏形式

(1) 剪切破坏：沿铆钉的剪切面剪断，如沿 $n$-$n$ 面剪断。

(2) 挤压破坏：铆钉与钢板在相互接触面上因挤压而使连接松动，发生破坏。

(3) 拉伸破坏：板条沿孔边净截面被拉断。

§2-13 剪切和挤压实用计算

二、剪切的应力分析

1. 受力特点：隐身构件受两组大小相等、方向相反、作用线相互很近的平行力系作用。 2. 变形特点：隐身构件沿两组平行力系的交界面发生相对错动。

单剪具有一个剪切面的剪切现象。

双剪具有两个剪切面的剪切现象。

§2-13 剪切和挤压实用计算

单剪和双剪

单剪

双剪

§2-13 剪切和挤压实用计算

3. 内力计算

单剪：
$\sum F_x=0,\ F_S-F=0 $$\Rightarrow F_S=F$；

单剪：
$\sum F_x=0,\ F_S-F=0 $$\Rightarrow F_S=F$；双剪：
$\sum F_x=0,\ 2F_S-F=0 $$\Rightarrow F_S=\dfrac{F}{2}$

§2-13 剪切和挤压实用计算

4. 切应力　5. 强度条件

4. 切应力

4. 切应力 实用计算：假设剪力在剪切面上均匀分布

$\tau=\dfrac{F_S}{A}$（$A$ 为剪切面的面积）

5. 强度条件

$\tau=\dfrac{F_S}{A}\le[\tau]$

5. 强度条件

$\tau=\dfrac{F_S}{A}\le[\tau]$

材料的许用切应力 $[\tau]=\dfrac{\tau_u}{n}$
（$n$: 安全因数，$\tau_u$: 剪切极限应力）

例2-13

挂钩插销联接，20 钢，$[\tau]=30$ MPa，$d=20$ mm，$F=15$ kN，校核插销剪切强度

解：

解： (1) 求内力——对插销：双剪切

解： (1) 求内力——对插销：双剪切$F_S=\dfrac{F}{2}=\dfrac{1}{2}\times1.5\times10^4=7500\,\mathrm{N}$

(2) 求应力 $A=\dfrac{1}{4}\pi d^2=3.142\times10^{-4}\,\mathrm{m^2}$$\tau=\dfrac{F_S}{A}=\dfrac{7500}{3.142\times10^{-4}}=23.9\,\mathrm{MPa}$

$\tau=23.9\,\mathrm{MPa}<[\tau]=30\,\mathrm{MPa}$　∴插销的剪切强度足够

例2-14

钢板 $t=10$ mm，$\tau_u=300$ MPa，冲床冲孔 $d=25$ mm，求 $F$

解：剪切面为圆柱体侧面

解：剪切面为圆柱体侧面隐身$A=\pi d t=785\,\mathrm{mm^2}$

剪切破坏条件：$\tau=\dfrac{F_S}{A}\ge\tau_u$

剪切破坏条件：$\tau=\dfrac{F_S}{A}\ge\tau_u$ $F_S\ge A\tau_u=785\times10^{-6}\times300\times10^6$

$F\ge236\,\mathrm{kN}$

例2-15

剪切器，试样 $d=15$ mm，$F=31.5$ kN 时剪断，求 $\tau_u$；若 $[\tau]=80$ MPa，求安全因数

解：(1) 求极限应力（双剪） $F_S=\dfrac{F}{2}=15.75\,\mathrm{kN}$$\tau=\dfrac{F_S}{\pi d^2/4}=\dfrac{15.75\times10^3}{\pi\times15^2/4}=89.1\,\mathrm{MPa}$

(2) 由 $[\tau]=\dfrac{\tau_u}{n}$

$n=\dfrac{\tau_u}{[\tau]}=\dfrac{89.1}{80}=1.114$

§2-13 剪切和挤压实用计算

三、挤压的应力分析

1. 基本概念

1. 基本概念 挤压：螺栓与钢板相互接触的侧面上，发生的彼此间的局部承压现象。

1. 基本概念 挤压：螺栓与钢板相互接触的侧面上，发生的彼此间的局部承压现象。挤压力：在接触面上的压力，记为 $F_{bs}$。

挤压力 $F_{bs}=F$

§2-13 剪切和挤压实用计算

三、挤压的应力分析

2. 挤压应力

2. 挤压应力 实用计算：

2. 挤压应力 实用计算： $\sigma_{bs}=\dfrac{F_{bs}}{A_{bs}}$（$A_{bs}$——挤压面的面积）

2. 挤压应力 实用计算： $\sigma_{bs}=\dfrac{F_{bs}}{A_{bs}}$（$A_{bs}$——挤压面的面积） 3. 强度条件

$\sigma_{bs}=\dfrac{F_{bs}}{A_{bs}}\le[\sigma_{bs}]$

2. 挤压应力 实用计算： $\sigma_{bs}=\dfrac{F_{bs}}{A_{bs}}$（$A_{bs}$——挤压面的面积） 3. 强度条件

$\sigma_{bs}=\dfrac{F_{bs}}{A_{bs}}\le[\sigma_{bs}]$

隐身内容$[\sigma_{bs}]$: 许用挤压应力

§2-13 剪切和挤压实用计算

4、挤压面的面积计算

(1) 接触面为圆柱面时，$A_{bs}$ 为实际接触面在直径平面上的投影面积

(1) 接触面为圆柱面时，$A_{bs}$ 为实际接触面在直径平面上的投影面积隐身内容$A_{bs}=d\times h$

(1) 接触面为圆柱面时，$A_{bs}$ 为实际接触面在直径平面上的投影面积隐身内容$A_{bs}=d\times h$ (2) 接触面为平面时（如平键）

(1) 接触面为圆柱面时，$A_{bs}$ 为实际接触面在直径平面上的投影面积隐身内容$A_{bs}=d\times h$ (2) 接触面为平面时（如平键） $A_{bs}$ 为实际接触面面积：

(1) 接触面为圆柱面时，$A_{bs}$ 为实际接触面在直径平面上的投影面积隐身内容$A_{bs}=d\times h$ (2) 接触面为平面时（如平键） $A_{bs}$ 为实际接触面面积：隐身内容$A_{bs}=\dfrac{h}{2}\times l$

§2-13 剪切和挤压实用计算

四、强度条件的应用

1. 校核强度：$\tau\le[\tau]$，$\sigma_{bs}\le[\sigma_{bs}]$
2. 设计截面：$A\ge\dfrac{F_S}{[\tau]}$，$A_{bs}\ge\dfrac{F}{[\sigma_{bs}]}$
3. 求许可载荷：$F_S\le[\tau]A$，$F\le[\sigma_{bs}]A_{bs}$
4. 破坏条件：$\tau\ge\tau_u$

例2-16

轴与齿轮平键联接，$d=70$ mm，键 $20\times12\times100$ mm，$M_e=2$ kN·m，$[\tau]=60$ MPa，$[\sigma]_{bs}=100$ MPa，校核键的强度

解：(1) 剪切强度 $F_S=\dfrac{2M_e}{d}=57.1\,\mathrm{kN}$，$A_S=bl$ $\tau=\dfrac{F_S}{bl}=\dfrac{57.1\times10^3}{20\times100}=28.6\,\mathrm{MPa}$隐身$\tau<[\tau]$, 满足剪切强度

(2) 挤压强度 $F_{bs}=F_S=57.1\,\mathrm{kN}$，$A_{bs}=\dfrac{h}{2}l$ $\sigma_{bs}=\dfrac{F_{bs}}{hl/2}=95.2\,\mathrm{MPa}$隐身$\sigma_{bs}<[\sigma]_{bs}$, 满足挤压强度

例2-17

螺栓联接，$[\sigma]=80$ MPa，$[\tau]=60$ MPa，$[\sigma_{bs}]=160$ MPa，拉杆 $\delta=15$ mm、盖板 8 mm，$F=120$ kN，设计 $d$ 与 $b$

解：(1) 剪切强度（双剪）

解：(1) 剪切强度（双剪） $F_S=\dfrac{F}{2}=60\,\mathrm{kN}$

解：(1) 剪切强度（双剪） $F_S=\dfrac{F}{2}=60\,\mathrm{kN}$$A_S=\dfrac{\pi}{4}d^2\ge\dfrac{F_S}{[\tau]}$

解：(1) 剪切强度（双剪） $F_S=\dfrac{F}{2}=60\,\mathrm{kN}$$A_S=\dfrac{\pi}{4}d^2\ge\dfrac{F_S}{[\tau]}$$d\ge\sqrt{\dfrac{4F_S}{\pi[\tau]}}=35.7\,\mathrm{mm}$

例2-17

螺栓联接，$[\sigma]=80$ MPa，$[\tau]=60$ MPa，$[\sigma_{bs}]=160$ MPa，拉杆 $\delta=15$ mm、盖板 8 mm，$F=120$ kN，设计 $d$ 与 $b$

(2) 挤压强度（盖板与螺栓接触） $A_{bs}=d\cdot\delta\ge\dfrac{F_{bs}}{[\sigma_{bs}]}$$d\ge\dfrac{120\times10^3}{160\times15}=50\,\mathrm{mm}$

(3) 拉杆拉伸强度 $A=b\cdot\delta\ge\dfrac{F}{[\sigma]}$$b\ge\dfrac{120\times10^3}{80\times15}=100\,\mathrm{mm}$

$d\ge50\,\mathrm{mm}$（由挤压控制），$b\ge100\,\mathrm{mm}$

思考题

销钉的剪切面面积 $A$ 与挤压面面积 $A_{bs}$

(2) 销钉的挤压面面积（头底环形面）：

$A_{bs}=\dfrac{\pi(D^2-d^2)}{4}$

(1) 销钉的剪切面面积（头部圆柱面）：

$A=\pi d h$

本节结束

The End

第二章 拉伸 压缩 剪切

目 录

目 录

§2-1 轴向拉压的概念及实例

§2-1 轴向拉压的概念及实例

§2-2 横截面上的内力和应力

§2-2 横截面上的内力和应力

例题

轴力图作图规则

例题2

例题2

§2-2 横截面上的内力和应力

§2-2 横截面上的内力和应力

§2-2 横截面上的内力和应力

§2-2 横截面上的内力和应力

例2-3

例2-4

§2-3 拉、压时斜截面上的应力

§2-3 拉、压时斜截面上的应力

§2-3 拉、压时斜截面上的应力

§2-4 材料在拉伸时的力学性能

§2-4 材料在拉伸时的力学性能

§2-4 材料在拉伸时的力学性能

§2-4 应力应变图

§2-4 应力应变图

§2-4 应力应变图

§2-4 应力应变图

§2-4 材料在拉伸时的力学性能

§2-4 材料在拉伸时的力学性能

§2-4 材料在拉伸时的力学性能

§2-4 材料在拉伸时的力学性能

§2-4 材料在拉伸时的力学性能

§2-5 材料在压缩时的力学性能

§2-5 材料在压缩时的力学性能

§2-7 失效、安全因数和强度计算

§2-7 失效、安全因数和强度计算

§2-7 失效、安全因数和强度计算

例2-5

例2-6

例2-7

例2-7

例2-7

例2-7

例2-8

例2-8

§2-8 轴向拉伸或压缩时变形

§2-8 轴向拉伸或压缩时变形

§2-8 轴向拉伸或压缩时变形

例2-9

例2-9

例2-10

例2-10

§2-9 轴向拉伸、压缩的应变能

§2-9 轴向拉伸、压缩的应变能

§2-10 拉伸、压缩超静定问题

§2-10 拉伸、压缩超静定问题

例2-11

例2-11

例2-12

§2-11 温度应力和装配应力

温度应力例题

§2-11 温度应力和装配应力

§2-11 温度应力和装配应力

§2-12 应力集中

§2-12 应力集中的概念

§2-12 应力集中的概念

§2-12 应力集中的概念

§2-13 剪切和挤压实用计算

§2-13 剪切和挤压实用计算

§2-13 剪切和挤压实用计算

§2-13 剪切和挤压实用计算

§2-13 剪切和挤压实用计算

§2-13 剪切和挤压实用计算

§2-13 剪切和挤压实用计算

例2-13

例2-14

例2-15

§2-13 剪切和挤压实用计算

§2-13 剪切和挤压实用计算

§2-13 剪切和挤压实用计算

第二章
拉伸压缩剪切

目录

目录