附 录
截面的几何性质
工程力学 C
夏逸波 低空技术学院
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§I-1 静矩与形心
一、静矩
微小面积 $\mathrm{d}A$ 对轴 $z$ 的矩：
微小面积 $\mathrm{d}A$ 对轴 $z$ 的矩：
$\mathrm{d}S_z=y\,\mathrm{d}A$
微小面积 $\mathrm{d}A$ 对轴 $z$ 的矩：
$\mathrm{d}S_z=y\,\mathrm{d}A$
微小面积 $\mathrm{d}A$ 对轴 $y$ 的矩：微小面积 $\mathrm{d}A$ 对轴 $z$ 的矩：
$\mathrm{d}S_z=y\,\mathrm{d}A$
微小面积 $\mathrm{d}A$ 对轴 $y$ 的矩：
$\mathrm{d}S_y=z\,\mathrm{d}A$
微小面积 $\mathrm{d}A$ 对轴 $z$ 的矩：
$\mathrm{d}S_z=y\,\mathrm{d}A$
微小面积 $\mathrm{d}A$ 对轴 $y$ 的矩：
$\mathrm{d}S_y=z\,\mathrm{d}A$
整个图形对轴的静矩：微小面积 $\mathrm{d}A$ 对轴 $z$ 的矩：
$\mathrm{d}S_z=y\,\mathrm{d}A$
微小面积 $\mathrm{d}A$ 对轴 $y$ 的矩：
$\mathrm{d}S_y=z\,\mathrm{d}A$
整个图形对轴的静矩：
$S_z=\int_A y\,\mathrm{d}A\qquad S_y=\int_A z\,\mathrm{d}A$
微小面积 $\mathrm{d}A$ 对轴 $z$ 的矩：
$\mathrm{d}S_z=y\,\mathrm{d}A$
微小面积 $\mathrm{d}A$ 对轴 $y$ 的矩：
$\mathrm{d}S_y=z\,\mathrm{d}A$
整个图形对轴的静矩：
$S_z=\int_A y\,\mathrm{d}A\qquad S_y=\int_A z\,\mathrm{d}A$
(1) 静矩可正、可负，也可能等于零微小面积 $\mathrm{d}A$ 对轴 $z$ 的矩：
$\mathrm{d}S_z=y\,\mathrm{d}A$
微小面积 $\mathrm{d}A$ 对轴 $y$ 的矩：
$\mathrm{d}S_y=z\,\mathrm{d}A$
整个图形对轴的静矩：
$S_z=\int_A y\,\mathrm{d}A\qquad S_y=\int_A z\,\mathrm{d}A$
(1) 静矩可正、可负，也可能等于零
(2) 同一图形对不同的坐标轴静矩不同
§I-1 静矩与形心
二、形心(截面的几何中心)
形心:
形心:
$\bar y=\dfrac{\int_A y\,\mathrm{d}A}{A}=\dfrac{S_z}{A}$
形心:
$\bar y=\dfrac{\int_A y\,\mathrm{d}A}{A}=\dfrac{S_z}{A}$
$\bar z=\dfrac{\int_A z\,\mathrm{d}A}{A}=\dfrac{S_y}{A}$
形心:
$\bar y=\dfrac{\int_A y\,\mathrm{d}A}{A}=\dfrac{S_z}{A}$
$\bar z=\dfrac{\int_A z\,\mathrm{d}A}{A}=\dfrac{S_y}{A}$
或 $S_z=A\bar y$、$S_y=A\bar z$。
推理:
推理:
(1) 截面对某一轴之静矩若等于零，则该轴必通过形心
推理:
(1) 截面对某一轴之静矩若等于零，则该轴必通过形心
(2) 截面对通过形心的轴之静矩必等于零。
推理:
(1) 截面对某一轴之静矩若等于零，则该轴必通过形心
(2) 截面对通过形心的轴之静矩必等于零。
形心的位置与所选坐标轴无关，是客观存在的。
§I-1 静矩与形心
3、规则图形的形心
(1) 具有两个对称轴的图形，对称轴的交点即为形心
(1) 具有两个对称轴的图形，对称轴的交点即为形心
(2) 具有一个对称轴的图形，形心必在对称轴上
§I-1 静矩与形心
三、组合图形的静矩和形心
整个图形对于某一轴的静矩等于各组成部分对同一轴静矩的代数和。
整个图形对于某一轴的静矩等于各组成部分对同一轴静矩的代数和。
⒈ 静矩：$S_z=\sum A_i\bar y_i$，$S_y=\sum A_i\bar z_i$
整个图形对于某一轴的静矩等于各组成部分对同一轴静矩的代数和。
⒈ 静矩：$S_z=\sum A_i\bar y_i$，$S_y=\sum A_i\bar z_i$
⒉ 形心：$\bar y=\dfrac{\sum A_i\bar y_i}{\sum A_i}$，$\bar z=\dfrac{\sum A_i\bar z_i}{\sum A_i}$
例I-1
试确定图示 L 形截面形心 C 的位置
解：建立参考坐标系，分块①②：
解：建立参考坐标系，分块①②：
$\bar y_1=5\,\mathrm{mm}$，$\bar z_1=60\,\mathrm{mm}$，$A_1=120\times10\,\mathrm{mm}$
解：建立参考坐标系，分块①②：
$\bar y_1=5\,\mathrm{mm}$，$\bar z_1=60\,\mathrm{mm}$，$A_1=120\times10\,\mathrm{mm}$
$\bar y_2=50\,\mathrm{mm}$，$\bar z_2=5\,\mathrm{mm}$，$A_2=80\times10\,\mathrm{mm}$
解：建立参考坐标系，分块①②：
$\bar y_1=5\,\mathrm{mm}$，$\bar z_1=60\,\mathrm{mm}$，$A_1=120\times10\,\mathrm{mm}$
$\bar y_2=50\,\mathrm{mm}$，$\bar z_2=5\,\mathrm{mm}$，$A_2=80\times10\,\mathrm{mm}$
$\bar y=\frac{A_1\bar{y}_1 + A_2\bar{y}_2}{A_1 + A_2}=\dfrac{1200\times5+80\times50}{A_1+A_2}=23\,\mathrm{mm}$
解：建立参考坐标系，分块①②：
$\bar y_1=5\,\mathrm{mm}$，$\bar z_1=60\,\mathrm{mm}$，$A_1=120\times10\,\mathrm{mm}$
$\bar y_2=50\,\mathrm{mm}$，$\bar z_2=5\,\mathrm{mm}$，$A_2=80\times10\,\mathrm{mm}$
$\bar y=\frac{A_1\bar{y}_1 + A_2\bar{y}_2}{A_1 + A_2}=\dfrac{1200\times5+80\times50}{A_1+A_2}=23\,\mathrm{mm}$$\bar z=\frac{A_1\bar{z}_1 + A_2\bar{z}_2}{A_1 + A_2}=\dfrac{1200\times60+800\times5}{A_1+A_2}=38\,\mathrm{mm}$
解：建立参考坐标系，分块①②：
$\bar y_1=5\,\mathrm{mm}$，$\bar z_1=60\,\mathrm{mm}$，$A_1=120\times10\,\mathrm{mm}$
$\bar y_2=50\,\mathrm{mm}$，$\bar z_2=5\,\mathrm{mm}$，$A_2=80\times10\,\mathrm{mm}$
$\bar y=\frac{A_1\bar{y}_1 + A_2\bar{y}_2}{A_1 + A_2}=\dfrac{1200\times5+80\times50}{A_1+A_2}=23\,\mathrm{mm}$$\bar z=\frac{A_1\bar{z}_1 + A_2\bar{z}_2}{A_1 + A_2}=\dfrac{1200\times60+800\times5}{A_1+A_2}=38\,\mathrm{mm}$
形心位置： $C(23, 38)\mathrm{mm}$
例I-2
求空心箱形截面的形心位置
解：建立参考坐标系，由对称知 $\bar y=0$
解：建立参考坐标系，由对称知 $\bar y=0$
$\bar z_1=0.7\,\mathrm{m}$，$A_1=1.4\times0.86=1.204\,\mathrm{m^2}$
解：建立参考坐标系，由对称知 $\bar y=0$
$\bar z_1=0.7\,\mathrm{m}$，$A_1=1.4\times0.86=1.204\,\mathrm{m^2}$
$\bar z_2=\dfrac{1}{2}(1.4-0.05-0.016)+0.05=0.717\,\mathrm{m}$
解：建立参考坐标系，由对称知 $\bar y=0$
$\bar z_1=0.7\,\mathrm{m}$，$A_1=1.4\times0.86=1.204\,\mathrm{m^2}$
$\bar z_2=\dfrac{1}{2}(1.4-0.05-0.016)+0.05=0.717\,\mathrm{m}$$A_2=(0.86-2\times0.016)\times(1.4-0.05-0.016)=1.105\,\mathrm{m^2}$
解：建立参考坐标系，由对称知 $\bar y=0$
$\bar z_1=0.7\,\mathrm{m}$，$A_1=1.4\times0.86=1.204\,\mathrm{m^2}$
$\bar z_2=\dfrac{1}{2}(1.4-0.05-0.016)+0.05=0.717\,\mathrm{m}$$A_2=(0.86-2\times0.016)\times(1.4-0.05-0.016)=1.105\,\mathrm{m^2}$$\bar z=\dfrac{A_1\bar z_1-A_2\bar z_2}{A_1-A_2}=\dfrac{1.204\times0.7-1.105\times0.717}{A_1-A_2}=0.51\,\mathrm{m}$
§I-2 惯性矩与惯性半径
一、惯性矩（轴惯性矩）
图形对 $y$、$z$ 轴的惯性矩（二次矩）：
图形对 $y$、$z$ 轴的惯性矩（二次矩）：
$I_z=\int_A y^2\,\mathrm{d}A\qquad I_y=\int_A z^2\,\mathrm{d}A$
图形对 $y$、$z$ 轴的惯性矩（二次矩）：
$I_z=\int_A y^2\,\mathrm{d}A\qquad I_y=\int_A z^2\,\mathrm{d}A$
讨论：图形对 $y$、$z$ 轴的惯性矩（二次矩）：
$I_z=\int_A y^2\,\mathrm{d}A\qquad I_y=\int_A z^2\,\mathrm{d}A$
讨论：
⑴ $I_y$、$I_z$ 恒为正，与坐标系位置有关图形对 $y$、$z$ 轴的惯性矩（二次矩）：
$I_z=\int_A y^2\,\mathrm{d}A\qquad I_y=\int_A z^2\,\mathrm{d}A$
讨论：
⑴ $I_y$、$I_z$ 恒为正，与坐标系位置有关
⑵ 单位：长度⁴图形对 $y$、$z$ 轴的惯性矩（二次矩）：
$I_z=\int_A y^2\,\mathrm{d}A\qquad I_y=\int_A z^2\,\mathrm{d}A$
讨论：
⑴ $I_y$、$I_z$ 恒为正，与坐标系位置有关
⑵ 单位：长度⁴
⑶ 对同一轴惯性矩可加减，对组合图形图形对 $y$、$z$ 轴的惯性矩（二次矩）：
$I_z=\int_A y^2\,\mathrm{d}A\qquad I_y=\int_A z^2\,\mathrm{d}A$
讨论：
⑴ $I_y$、$I_z$ 恒为正，与坐标系位置有关
⑵ 单位：长度⁴
⑶ 对同一轴惯性矩可加减，对组合图形
$I_y=\sum I_{yi}$ 容 $I_z=\sum I_{zi}$
§I-2 惯性矩与惯性半径
二、惯性半径 三、极惯性矩
二、惯性半径：
二、惯性半径：
令 $I_y=Ai_y^2$、$I_z=Ai_z^2$
二、惯性半径：
令 $I_y=Ai_y^2$、$I_z=Ai_z^2$
$\therefore\ i_y=\sqrt{\dfrac{I_y}{A}}$，$i_z=\sqrt{\dfrac{I_z}{A}}$
二、惯性半径：
令 $I_y=Ai_y^2$、$I_z=Ai_z^2$
$\therefore\ i_y=\sqrt{\dfrac{I_y}{A}}$，$i_z=\sqrt{\dfrac{I_z}{A}}$
三、极惯性矩：
二、惯性半径：
令 $I_y=Ai_y^2$、$I_z=Ai_z^2$
$\therefore\ i_y=\sqrt{\dfrac{I_y}{A}}$，$i_z=\sqrt{\dfrac{I_z}{A}}$
三、极惯性矩：
$I_P=\int_A\rho^2\,\mathrm{d}A$
二、惯性半径：
令 $I_y=Ai_y^2$、$I_z=Ai_z^2$
$\therefore\ i_y=\sqrt{\dfrac{I_y}{A}}$，$i_z=\sqrt{\dfrac{I_z}{A}}$
三、极惯性矩：
$I_P=\int_A\rho^2\,\mathrm{d}A$
$\because\rho^2=y^2+z^2$，$I_P=\int_A y^2\mathrm{d}A+\int_A z^2\mathrm{d}A=I_y+I_z$
图形对任意一对互相垂直的轴的惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩
演算：矩形与圆形截面的惯性矩
矩形（$\mathrm{d}A=b\,\mathrm{d}z$）：$I_y=\int_{-h/2}^{h/2}bz^2\mathrm{d}z=\dfrac{1}{12}bh^3$；同理 $I_z=\dfrac{1}{12}b^3h$
矩形（$\mathrm{d}A=b\,\mathrm{d}z$）：$I_y=\int_{-h/2}^{h/2}bz^2\mathrm{d}z=\dfrac{1}{12}bh^3$；同理 $I_z=\dfrac{1}{12}b^3h$
圆形（$\mathrm{d}A=2\sqrt{R^2-z^2}\,\mathrm{d}z$）：$I_y=2\int_{-R}^{R}z^2\sqrt{R^2-z^2}\,\mathrm{d}z=\dfrac{1}{64}\pi D^4$
矩形（$\mathrm{d}A=b\,\mathrm{d}z$）：$I_y=\int_{-h/2}^{h/2}bz^2\mathrm{d}z=\dfrac{1}{12}bh^3$；同理 $I_z=\dfrac{1}{12}b^3h$
圆形（$\mathrm{d}A=2\sqrt{R^2-z^2}\,\mathrm{d}z$）：$I_y=2\int_{-R}^{R}z^2\sqrt{R^2-z^2}\,\mathrm{d}z=\dfrac{1}{64}\pi D^4$
隐身内∵ $z$ 轴和 $y$ 轴都过圆心，$\therefore\ I_z=I_y=\dfrac{1}{64}\pi D^4$，$I_P=I_z+I_y=\dfrac{1}{32}\pi D^4$
矩形（$\mathrm{d}A=b\,\mathrm{d}z$）：$I_y=\int_{-h/2}^{h/2}bz^2\mathrm{d}z=\dfrac{1}{12}bh^3$；同理 $I_z=\dfrac{1}{12}b^3h$
圆形（$\mathrm{d}A=2\sqrt{R^2-z^2}\,\mathrm{d}z$）：$I_y=2\int_{-R}^{R}z^2\sqrt{R^2-z^2}\,\mathrm{d}z=\dfrac{1}{64}\pi D^4$
隐身内∵ $z$ 轴和 $y$ 轴都过圆心，$\therefore\ I_z=I_y=\dfrac{1}{64}\pi D^4$，$I_P=I_z+I_y=\dfrac{1}{32}\pi D^4$
若为空心圆（$\alpha=d/D$）：$I_z=I_y=\dfrac{1}{64}\pi D^4(1-\alpha^4)$，$I_P=\dfrac{1}{32}\pi D^4(1-\alpha^4)$
§I-3 惯性积
图形对 $y$、$z$ 轴的惯性积：
图形对 $y$、$z$ 轴的惯性积：
$I_{yz}=\int_A yz\,\mathrm{d}A$
图形对 $y$、$z$ 轴的惯性积：
$I_{yz}=\int_A yz\,\mathrm{d}A$
讨论：图形对 $y$、$z$ 轴的惯性积：
$I_{yz}=\int_A yz\,\mathrm{d}A$
讨论：
⑴ $I_{yz}$ 可为正、负、零图形对 $y$、$z$ 轴的惯性积：
$I_{yz}=\int_A yz\,\mathrm{d}A$
讨论：
⑴ $I_{yz}$ 可为正、负、零
⑵ 单位：长度⁴图形对 $y$、$z$ 轴的惯性积：
$I_{yz}=\int_A yz\,\mathrm{d}A$
讨论：
⑴ $I_{yz}$ 可为正、负、零
⑵ 单位：长度⁴
⑶ 当 $y$、$z$ 轴中有一轴为图形对称轴时，$I_{yz}=0$图形对 $y$、$z$ 轴的惯性积：
$I_{yz}=\int_A yz\,\mathrm{d}A$
讨论：
⑴ $I_{yz}$ 可为正、负、零
⑵ 单位：长度⁴
⑶ 当 $y$、$z$ 轴中有一轴为图形对称轴时，$I_{yz}=0$
⑷ 组合图形图形对 $y$、$z$ 轴的惯性积：
$I_{yz}=\int_A yz\,\mathrm{d}A$
讨论：
⑴ $I_{yz}$ 可为正、负、零
⑵ 单位：长度⁴
⑶ 当 $y$、$z$ 轴中有一轴为图形对称轴时，$I_{yz}=0$
⑷ 组合图形
$I_{yz}=\sum(I_{yz})_i$
§I-4 平行移轴公式
已知：$I_{zC}=\int_A y_C^2\mathrm{d}A$、$I_{yC}=\int_A z_C^2\mathrm{d}A$、$I_{y_Cz_C}=\int_A y_Cz_C\mathrm{d}A$；求：$I_z$、$I_y$、$I_{yz}$
已知：$I_{zC}=\int_A y_C^2\mathrm{d}A$、$I_{yC}=\int_A z_C^2\mathrm{d}A$、$I_{y_Cz_C}=\int_A y_Cz_C\mathrm{d}A$；求：$I_z$、$I_y$、$I_{yz}$
解：由 $y=y_C+b$、$z=z_C+a$ 展开：
已知：$I_{zC}=\int_A y_C^2\mathrm{d}A$、$I_{yC}=\int_A z_C^2\mathrm{d}A$、$I_{y_Cz_C}=\int_A y_Cz_C\mathrm{d}A$；求：$I_z$、$I_y$、$I_{yz}$
解：由 $y=y_C+b$、$z=z_C+a$ 展开：
$I_y=\int_A(z_C+a)^2\mathrm{d}A=\int_A z_C^2\mathrm{d}A+a^2A+2a\int_A z_C\,\mathrm{d}A$
已知：$I_{zC}=\int_A y_C^2\mathrm{d}A$、$I_{yC}=\int_A z_C^2\mathrm{d}A$、$I_{y_Cz_C}=\int_A y_Cz_C\mathrm{d}A$；求：$I_z$、$I_y$、$I_{yz}$
解：由 $y=y_C+b$、$z=z_C+a$ 展开：
$I_y=\int_A(z_C+a)^2\mathrm{d}A=\int_A z_C^2\mathrm{d}A+a^2A+2a\int_A z_C\,\mathrm{d}A$∵ 形心轴静矩为零（$\int_A z_C\,\mathrm{d}A=0$）：
已知：$I_{zC}=\int_A y_C^2\mathrm{d}A$、$I_{yC}=\int_A z_C^2\mathrm{d}A$、$I_{y_Cz_C}=\int_A y_Cz_C\mathrm{d}A$；求：$I_z$、$I_y$、$I_{yz}$
解：由 $y=y_C+b$、$z=z_C+a$ 展开：
$I_y=\int_A(z_C+a)^2\mathrm{d}A=\int_A z_C^2\mathrm{d}A+a^2A+2a\int_A z_C\,\mathrm{d}A$∵ 形心轴静矩为零（$\int_A z_C\,\mathrm{d}A=0$）：
平行移轴公式$I_y=I_{y_C}+a^2A$
$I_z=I_{z_C}+b^2A$
$I_{yz}=I_{y_Cz_C}+abA$
$I_z=I_{z_C}+b^2A$
$I_{yz}=I_{y_Cz_C}+abA$
已知：$I_{zC}=\int_A y_C^2\mathrm{d}A$、$I_{yC}=\int_A z_C^2\mathrm{d}A$、$I_{y_Cz_C}=\int_A y_Cz_C\mathrm{d}A$；求：$I_z$、$I_y$、$I_{yz}$
解：由 $y=y_C+b$、$z=z_C+a$ 展开：
$I_y=\int_A(z_C+a)^2\mathrm{d}A=\int_A z_C^2\mathrm{d}A+a^2A+2a\int_A z_C\,\mathrm{d}A$∵ 形心轴静矩为零（$\int_A z_C\,\mathrm{d}A=0$）：
平行移轴公式$I_y=I_{y_C}+a^2A$
$I_z=I_{z_C}+b^2A$
$I_{yz}=I_{y_Cz_C}+abA$
$I_z=I_{z_C}+b^2A$
$I_{yz}=I_{y_Cz_C}+abA$
注意：$a$、$b$ 为形心 C 的坐标，可以为正、负。
例I-3：求 T 形截面对其形心轴 y_C 的惯性矩
解：分块①（竖板 $20\times140$）与②（底板 $100\times20$）：
解：分块①（竖板 $20\times140$）与②（底板 $100\times20$）：
$\bar z_1=80\,\mathrm{mm}$，$\bar z_2=0$,
解：分块①（竖板 $20\times140$）与②（底板 $100\times20$）：
$\bar z_1=80\,\mathrm{mm}$，$\bar z_2=0$,
$A_1=20\times140\,\mathrm{m}$, $A_2=100\times20\,\mathrm{m}$
解：分块①（竖板 $20\times140$）与②（底板 $100\times20$）：
$\bar z_1=80\,\mathrm{mm}$，$\bar z_2=0$,
$A_1=20\times140\,\mathrm{m}$, $A_2=100\times20\,\mathrm{m}$
$\bar z_C=\dfrac{A_1\bar z_1+A_2\bar z_2}{A_1+A_2}=46.7\,\mathrm{mm}$
解：分块①（竖板 $20\times140$）与②（底板 $100\times20$）：
$\bar z_1=80\,\mathrm{mm}$，$\bar z_2=0$,
$A_1=20\times140\,\mathrm{m}$, $A_2=100\times20\,\mathrm{m}$
$\bar z_C=\dfrac{A_1\bar z_1+A_2\bar z_2}{A_1+A_2}=46.7\,\mathrm{mm}$由 $I_y=I_{y_C}+a^2A$：
解：分块①（竖板 $20\times140$）与②（底板 $100\times20$）：
$\bar z_1=80\,\mathrm{mm}$，$\bar z_2=0$,
$A_1=20\times140\,\mathrm{m}$, $A_2=100\times20\,\mathrm{m}$
$\bar z_C=\dfrac{A_1\bar z_1+A_2\bar z_2}{A_1+A_2}=46.7\,\mathrm{mm}$由 $I_y=I_{y_C}+a^2A$：
$I_{y_C}^1 = \frac{1}{12}bh^3 + A_1 \times (\overline{z}_1 - \overline{z}_c)^2=7.69\times10^{-6}\,\mathrm{m^4}$
解：分块①（竖板 $20\times140$）与②（底板 $100\times20$）：
$\bar z_1=80\,\mathrm{mm}$，$\bar z_2=0$,
$A_1=20\times140\,\mathrm{m}$, $A_2=100\times20\,\mathrm{m}$
$\bar z_C=\dfrac{A_1\bar z_1+A_2\bar z_2}{A_1+A_2}=46.7\,\mathrm{mm}$由 $I_y=I_{y_C}+a^2A$：
$I_{y_C}^1 = \frac{1}{12}bh^3 + A_1 \times (\overline{z}_1 - \overline{z}_c)^2=7.69\times10^{-6}\,\mathrm{m^4}$$I_{y_C}^2=\dfrac{1}{12}\times100\times20^3+100\times20\times46.7^2=4.43\times10^{-6}\,\mathrm{m^4}$
解：分块①（竖板 $20\times140$）与②（底板 $100\times20$）：
$\bar z_1=80\,\mathrm{mm}$，$\bar z_2=0$,
$A_1=20\times140\,\mathrm{m}$, $A_2=100\times20\,\mathrm{m}$
$\bar z_C=\dfrac{A_1\bar z_1+A_2\bar z_2}{A_1+A_2}=46.7\,\mathrm{mm}$由 $I_y=I_{y_C}+a^2A$：
$I_{y_C}^1 = \frac{1}{12}bh^3 + A_1 \times (\overline{z}_1 - \overline{z}_c)^2=7.69\times10^{-6}\,\mathrm{m^4}$$I_{y_C}^2=\dfrac{1}{12}\times100\times20^3+100\times20\times46.7^2=4.43\times10^{-6}\,\mathrm{m^4}$
$I_{y_C}=I_{y_C}^1+I_{y_C}^2=12.12\times10^{-6}\,\mathrm{m^4}$
例I-4：空心箱形截面，求对 $y_C$ 的惯性矩和对坐标轴的惯性积
解：(1)由对称 $\bar y=0$，承接例I-2：$\bar z=0.51\,\mathrm{m}$
解：(1)由对称 $\bar y=0$，承接例I-2：$\bar z=0.51\,\mathrm{m}$
由 $I_y=I_{y_C}+a^2A$：
解：(1)由对称 $\bar y=0$，承接例I-2：$\bar z=0.51\,\mathrm{m}$
由 $I_y=I_{y_C}+a^2A$：
$I_{y_C}^1=\dfrac{1}{12}\times0.86\times1.4^3+0.86\times1.4\times(0.7-0.51)^2=0.24\,\mathrm{m^4}$
解：(1)由对称 $\bar y=0$，承接例I-2：$\bar z=0.51\,\mathrm{m}$
由 $I_y=I_{y_C}+a^2A$：
$I_{y_C}^1=\dfrac{1}{12}\times0.86\times1.4^3+0.86\times1.4\times(0.7-0.51)^2=0.24\,\mathrm{m^4}$$I_{y_C}^2=\dfrac{1}{12}\times0.828\times1.334^3+0.828\times1.334\times\left(\dfrac{1.334}{2}+0.05-0.51\right)^2=0.211\,\mathrm{m^4}$
解：(1)由对称 $\bar y=0$，承接例I-2：$\bar z=0.51\,\mathrm{m}$
由 $I_y=I_{y_C}+a^2A$：
$I_{y_C}^1=\dfrac{1}{12}\times0.86\times1.4^3+0.86\times1.4\times(0.7-0.51)^2=0.24\,\mathrm{m^4}$$I_{y_C}^2=\dfrac{1}{12}\times0.828\times1.334^3+0.828\times1.334\times\left(\dfrac{1.334}{2}+0.05-0.51\right)^2=0.211\,\mathrm{m^4}$
$I_{y_C}=I_{y_C}^1-I_{y_C}^2=0.029\,\mathrm{m^4}$
解：(1)由对称 $\bar y=0$，承接例I-2：$\bar z=0.51\,\mathrm{m}$
由 $I_y=I_{y_C}+a^2A$：
$I_{y_C}^1=\dfrac{1}{12}\times0.86\times1.4^3+0.86\times1.4\times(0.7-0.51)^2=0.24\,\mathrm{m^4}$$I_{y_C}^2=\dfrac{1}{12}\times0.828\times1.334^3+0.828\times1.334\times\left(\dfrac{1.334}{2}+0.05-0.51\right)^2=0.211\,\mathrm{m^4}$
$I_{y_C}=I_{y_C}^1-I_{y_C}^2=0.029\,\mathrm{m^4}$
(2) 由于 $z_C$ 轴为图形对称轴，因此
$I_{y_Cz_C}=0$
§I-5 转轴公式、主惯性轴
一、转轴公式
$yOz$ 为过截面上任一点建立的坐标系，$y_1Oz_1$ 为转过 $\alpha$ 角后的新坐标系：
$y_1=y\cos\alpha+z\sin\alpha$，$z_1=z\cos\alpha-y\sin\alpha$
$y_1=y\cos\alpha+z\sin\alpha$，$z_1=z\cos\alpha-y\sin\alpha$
$I_{y_1}=\int_A(z\cos\alpha-y\sin\alpha)^2\mathrm{d}A\\\textcolor{transparent}{内}=I_y\cos^2\alpha+I_z\sin^2\alpha-I_{yz}\sin2\alpha$
$y_1=y\cos\alpha+z\sin\alpha$，$z_1=z\cos\alpha-y\sin\alpha$
$I_{y_1}=\int_A(z\cos\alpha-y\sin\alpha)^2\mathrm{d}A\\\textcolor{transparent}{内}=I_y\cos^2\alpha+I_z\sin^2\alpha-I_{yz}\sin2\alpha$代入半角公式合成：
$y_1=y\cos\alpha+z\sin\alpha$，$z_1=z\cos\alpha-y\sin\alpha$
$I_{y_1}=\int_A(z\cos\alpha-y\sin\alpha)^2\mathrm{d}A\\\textcolor{transparent}{内}=I_y\cos^2\alpha+I_z\sin^2\alpha-I_{yz}\sin2\alpha$代入半角公式合成：
$I_{y_1}=\dfrac{I_y+I_z}{2}+\dfrac{I_y-I_z}{2}\cos2\alpha-I_{yz}\sin2\alpha$
$y_1=y\cos\alpha+z\sin\alpha$，$z_1=z\cos\alpha-y\sin\alpha$
$I_{y_1}=\int_A(z\cos\alpha-y\sin\alpha)^2\mathrm{d}A\\\textcolor{transparent}{内}=I_y\cos^2\alpha+I_z\sin^2\alpha-I_{yz}\sin2\alpha$代入半角公式合成：
$I_{y_1}=\dfrac{I_y+I_z}{2}+\dfrac{I_y-I_z}{2}\cos2\alpha-I_{yz}\sin2\alpha$
同理 $I_{z_1}=\dfrac{I_y+I_z}{2}-\dfrac{I_y-I_z}{2}\cos2\alpha+I_{yz}\sin2\alpha$
$y_1=y\cos\alpha+z\sin\alpha$，$z_1=z\cos\alpha-y\sin\alpha$
$I_{y_1}=\int_A(z\cos\alpha-y\sin\alpha)^2\mathrm{d}A\\\textcolor{transparent}{内}=I_y\cos^2\alpha+I_z\sin^2\alpha-I_{yz}\sin2\alpha$代入半角公式合成：
$I_{y_1}=\dfrac{I_y+I_z}{2}+\dfrac{I_y-I_z}{2}\cos2\alpha-I_{yz}\sin2\alpha$
同理 $I_{z_1}=\dfrac{I_y+I_z}{2}-\dfrac{I_y-I_z}{2}\cos2\alpha+I_{yz}\sin2\alpha$
隐身$I_{y_1z_1}=\dfrac{I_y-I_z}{2}\sin2\alpha+I_{yz}\cos2\alpha$
§I-5 转轴公式、主惯性轴
二、主惯性轴
$I_{y_1}=\dfrac{I_y+I_z}{2}+\dfrac{I_y-I_z}{2}\cos2\alpha-I_{yz}\sin2\alpha$内容 $I_{y_1z_1}=\dfrac{I_y-I_z}{2}\sin2\alpha+I_{yz}\cos2\alpha$
$I_{y_1}=\dfrac{I_y+I_z}{2}+\dfrac{I_y-I_z}{2}\cos2\alpha-I_{yz}\sin2\alpha$内容 $I_{y_1z_1}=\dfrac{I_y-I_z}{2}\sin2\alpha+I_{yz}\cos2\alpha$
令$\alpha=\alpha_{0}$时， $\dfrac{\mathrm{d}I_{y_1}}{\mathrm{d}\alpha}=0$
$I_{y_1}=\dfrac{I_y+I_z}{2}+\dfrac{I_y-I_z}{2}\cos2\alpha-I_{yz}\sin2\alpha$内容 $I_{y_1z_1}=\dfrac{I_y-I_z}{2}\sin2\alpha+I_{yz}\cos2\alpha$
令$\alpha=\alpha_{0}$时， $\dfrac{\mathrm{d}I_{y_1}}{\mathrm{d}\alpha}=0$
即 $\dfrac{I_y-I_z}{2}\sin2\alpha_0+I_{yz}\cos2\alpha_0=0\ \Longrightarrow\ I_{y_1z_1}=0$
$I_{y_1}=\dfrac{I_y+I_z}{2}+\dfrac{I_y-I_z}{2}\cos2\alpha-I_{yz}\sin2\alpha$内容 $I_{y_1z_1}=\dfrac{I_y-I_z}{2}\sin2\alpha+I_{yz}\cos2\alpha$
令$\alpha=\alpha_{0}$时， $\dfrac{\mathrm{d}I_{y_1}}{\mathrm{d}\alpha}=0$
即 $\dfrac{I_y-I_z}{2}\sin2\alpha_0+I_{yz}\cos2\alpha_0=0\ \Longrightarrow\ I_{y_1z_1}=0$
$\tan2\alpha_0=\dfrac{-2I_{yz}}{I_y-I_z}$
$I_{y_1}=\dfrac{I_y+I_z}{2}+\dfrac{I_y-I_z}{2}\cos2\alpha-I_{yz}\sin2\alpha$内容 $I_{y_1z_1}=\dfrac{I_y-I_z}{2}\sin2\alpha+I_{yz}\cos2\alpha$
令$\alpha=\alpha_{0}$时， $\dfrac{\mathrm{d}I_{y_1}}{\mathrm{d}\alpha}=0$
即 $\dfrac{I_y-I_z}{2}\sin2\alpha_0+I_{yz}\cos2\alpha_0=0\ \Longrightarrow\ I_{y_1z_1}=0$
$\tan2\alpha_0=\dfrac{-2I_{yz}}{I_y-I_z}$
可求出相差 90° 的两个角，即确定一对坐标轴 $y_0$、$z_0$，图形对此两轴有 $I_{\max}$、$I_{\min}$
$I_{y_1}=\dfrac{I_y+I_z}{2}+\dfrac{I_y-I_z}{2}\cos2\alpha-I_{yz}\sin2\alpha$内容 $I_{y_1z_1}=\dfrac{I_y-I_z}{2}\sin2\alpha+I_{yz}\cos2\alpha$
令$\alpha=\alpha_{0}$时， $\dfrac{\mathrm{d}I_{y_1}}{\mathrm{d}\alpha}=0$
即 $\dfrac{I_y-I_z}{2}\sin2\alpha_0+I_{yz}\cos2\alpha_0=0\ \Longrightarrow\ I_{y_1z_1}=0$
$\tan2\alpha_0=\dfrac{-2I_{yz}}{I_y-I_z}$
可求出相差 90° 的两个角，即确定一对坐标轴 $y_0$、$z_0$，图形对此两轴有 $I_{\max}$、$I_{\min}$
$y_0$、$z_0$ 称为主惯性轴。
§I-5 转轴公式、主惯性轴
二、主惯性轴
⑴ 主惯性轴：图形对某一对坐标轴的惯性积为 0；
⑴ 主惯性轴：图形对某一对坐标轴的惯性积为 0；
⑵ 主惯性矩：对主轴的惯性矩；
⑴ 主惯性轴：图形对某一对坐标轴的惯性积为 0；
⑵ 主惯性矩：对主轴的惯性矩；
⑶ 形心主惯性轴：通过图形形心的主惯性轴；
⑴ 主惯性轴：图形对某一对坐标轴的惯性积为 0；
⑵ 主惯性矩：对主轴的惯性矩；
⑶ 形心主惯性轴：通过图形形心的主惯性轴；
⑷ 形心主惯性矩：图形对形心主惯性轴的惯性矩。
⑴ 主惯性轴：图形对某一对坐标轴的惯性积为 0；
⑵ 主惯性矩：对主轴的惯性矩；
⑶ 形心主惯性轴：通过图形形心的主惯性轴；
⑷ 形心主惯性矩：图形对形心主惯性轴的惯性矩。
主惯性矩公式:
⑴ 主惯性轴：图形对某一对坐标轴的惯性积为 0；
⑵ 主惯性矩：对主轴的惯性矩；
⑶ 形心主惯性轴：通过图形形心的主惯性轴；
⑷ 形心主惯性矩：图形对形心主惯性轴的惯性矩。
主惯性矩公式:
$I_{y_0}=\dfrac{I_y+I_z}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{(I_y-I_z)^2+4I_{yz}^2}$$I_{z_0}=\dfrac{I_y+I_z}{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{(I_y-I_z)^2+4I_{yz}^2}$
注意：每根对称轴即为形心主惯性轴。
例I-5：确定 U 形截面形心主惯性轴位置，并求形心主惯性矩
解：分块（负面积法）：$\bar z_1=90\,\mathrm{mm}$、$A_1=120\times180\,\mathrm{mm}$；$\bar z_2=70\,\mathrm{mm}$、$A_2=140\times60\,\mathrm{mm}$
解：分块（负面积法）：$\bar z_1=90\,\mathrm{mm}$、$A_1=120\times180\,\mathrm{mm}$；$\bar z_2=70\,\mathrm{mm}$、$A_2=140\times60\,\mathrm{mm}$
$\bar z=\dfrac{A_1\bar z_1-A_2\bar z_2}{A_1-A_2}=103\,\mathrm{mm}$
解：分块（负面积法）：$\bar z_1=90\,\mathrm{mm}$、$A_1=120\times180\,\mathrm{mm}$；$\bar z_2=70\,\mathrm{mm}$、$A_2=140\times60\,\mathrm{mm}$
$\bar z=\dfrac{A_1\bar z_1-A_2\bar z_2}{A_1-A_2}=103\,\mathrm{mm}$由 $I_y=I_{y_C}+a^2A$：
解：分块（负面积法）：$\bar z_1=90\,\mathrm{mm}$、$A_1=120\times180\,\mathrm{mm}$；$\bar z_2=70\,\mathrm{mm}$、$A_2=140\times60\,\mathrm{mm}$
$\bar z=\dfrac{A_1\bar z_1-A_2\bar z_2}{A_1-A_2}=103\,\mathrm{mm}$由 $I_y=I_{y_C}+a^2A$：
$I_{y_C}=3.91\times10^{-5}\,\mathrm{m^4}$
解：分块（负面积法）：$\bar z_1=90\,\mathrm{mm}$、$A_1=120\times180\,\mathrm{mm}$；$\bar z_2=70\,\mathrm{mm}$、$A_2=140\times60\,\mathrm{mm}$
$\bar z=\dfrac{A_1\bar z_1-A_2\bar z_2}{A_1-A_2}=103\,\mathrm{mm}$由 $I_y=I_{y_C}+a^2A$：
$I_{y_C}=3.91\times10^{-5}\,\mathrm{m^4}$$I_{z_C}=\dfrac{1}{12}\times180\times120^3-\dfrac{1}{12}\times140\times60^3=2.34\times10^{-5}\,\mathrm{m^4}$
解：分块（负面积法）：$\bar z_1=90\,\mathrm{mm}$、$A_1=120\times180\,\mathrm{mm}$；$\bar z_2=70\,\mathrm{mm}$、$A_2=140\times60\,\mathrm{mm}$
$\bar z=\dfrac{A_1\bar z_1-A_2\bar z_2}{A_1-A_2}=103\,\mathrm{mm}$由 $I_y=I_{y_C}+a^2A$：
$I_{y_C}=3.91\times10^{-5}\,\mathrm{m^4}$$I_{z_C}=\dfrac{1}{12}\times180\times120^3-\dfrac{1}{12}\times140\times60^3=2.34\times10^{-5}\,\mathrm{m^4}$由对称性，$y_C$、$z_C$ 即为形心主惯性轴：
$I_{\max}=I_{y_C}=3.91\times10^{-5}\,\mathrm{m^4}$，$I_{\min}=I_{z_C}=2.34\times10^{-5}\,\mathrm{m^4}$
例：求阴影部分的 $I_y$、$I_z$
解：$I_y=I_{y矩}-I_{y圆}$
解：$I_y=I_{y矩}-I_{y圆}$
$I_{y矩}=\dfrac{1}{12}d^3(2d)=\dfrac{1}{6}d^4$隐身$I_{y圆}=\dfrac{1}{64}\pi d^4$
解：$I_y=I_{y矩}-I_{y圆}$
$I_{y矩}=\dfrac{1}{12}d^3(2d)=\dfrac{1}{6}d^4$隐身$I_{y圆}=\dfrac{1}{64}\pi d^4$
$I_y=\dfrac{1}{6}d^4-\dfrac{\pi}{32}d^4$
解：$I_y=I_{y矩}-I_{y圆}$
$I_{y矩}=\dfrac{1}{12}d^3(2d)=\dfrac{1}{6}d^4$隐身$I_{y圆}=\dfrac{1}{64}\pi d^4$
$I_y=\dfrac{1}{6}d^4-\dfrac{\pi}{32}d^4$$I_z=I_{z矩}-I_{z圆}$，$I_{z矩}=\dfrac{1}{12}d(2d)^3=\dfrac{2}{3}d^4$
解：$I_y=I_{y矩}-I_{y圆}$
$I_{y矩}=\dfrac{1}{12}d^3(2d)=\dfrac{1}{6}d^4$隐身$I_{y圆}=\dfrac{1}{64}\pi d^4$
$I_y=\dfrac{1}{6}d^4-\dfrac{\pi}{32}d^4$$I_z=I_{z矩}-I_{z圆}$，$I_{z矩}=\dfrac{1}{12}d(2d)^3=\dfrac{2}{3}d^4$
圆对 $z$ 轴需用移轴：$I_{z圆}=\dfrac{1}{64}\pi d^4+\dfrac{1}{4}\pi d^2\left(\dfrac{d}{2}\right)^2=\dfrac{5}{64}\pi d^4$
解：$I_y=I_{y矩}-I_{y圆}$
$I_{y矩}=\dfrac{1}{12}d^3(2d)=\dfrac{1}{6}d^4$隐身$I_{y圆}=\dfrac{1}{64}\pi d^4$
$I_y=\dfrac{1}{6}d^4-\dfrac{\pi}{32}d^4$$I_z=I_{z矩}-I_{z圆}$，$I_{z矩}=\dfrac{1}{12}d(2d)^3=\dfrac{2}{3}d^4$
圆对 $z$ 轴需用移轴：$I_{z圆}=\dfrac{1}{64}\pi d^4+\dfrac{1}{4}\pi d^2\left(\dfrac{d}{2}\right)^2=\dfrac{5}{64}\pi d^4$
隐身$I_z=\dfrac{2}{3}d^4-\dfrac{5\pi}{32}d^4$
本章结束
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